"오일러 수"의 두 판 사이의 차이
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==개요== | ==개요== | ||
| − | * | + | * 오일러 수 <math>E_n</math>은 다음과 같이 정의됨 |
| − | * | + | :<math>\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!</math> |
| − | + | :<math>\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math> | |
| − | + | :<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math> | |
| + | * 처음 몇 개의 오일러 수는 다음과 같이 주어짐 (<math>n</math>이 홀수이면, <math>E_n=0</math>) | ||
| + | :<math> | ||
| + | \begin{array}{c|c} | ||
| + | n & E_n \\ | ||
| + | \hline | ||
| + | 0 & 1 \\ | ||
| + | 2 & -1 \\ | ||
| + | 4 & 5 \\ | ||
| + | 6 & -61 \\ | ||
| + | 8 & 1385 \\ | ||
| + | 10 & -50521 \\ | ||
| + | 12 & 2702765 \\ | ||
| + | 14 & -199360981 \\ | ||
| + | 16 & 19391512145 \\ | ||
| + | 18 & -2404879675441 \\ | ||
| + | 20 & 370371188237525 | ||
| + | \end{array} | ||
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==재미있는 사실== | ==재미있는 사실== | ||
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<math>4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi</math> | <math>4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi</math> | ||
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<math>\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^7}-\frac{101042}{N^7}+\cdots</math> | <math>\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^7}-\frac{101042}{N^7}+\cdots</math> | ||
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좀더 엄밀하게 오차항은 다음 정도의 크기를 가짐 | 좀더 엄밀하게 오차항은 다음 정도의 크기를 가짐 | ||
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<math>4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)</math> | <math>4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)</math> | ||
| − | + | 여기서 <math>|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}</math> | |
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| − | + | 따라서 <math>N=10^{l}</math> 일때, (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 <math>l</math>번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다. | |
| − | 오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math> | + | 오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math>과 <math>10^{2l}</math> 의 자릿수가 엇비슷해지는 <math>M</math>을 찾았을때 <math>k=M</math> 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다. |
| − | 라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 | + | 라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다. |
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예) | 예) | ||
| − | <math>N=10^2</math> | + | <math>N=10^2</math> 인 경우, <math>2E_6</math>가 네자리 수이므로, <math>M=2</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다. |
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<math>4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots</math> | <math>4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots</math> | ||
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0.1'''2'''345'''6'''78'''90'''1234567890123456789012345678901234567890123456789 | 0.1'''2'''345'''6'''78'''90'''1234567890123456789012345678901234567890123456789 | ||
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3.1'''2'''159'''4'''65'''25'''9101047851… (위의 급수) | 3.1'''2'''159'''4'''65'''25'''9101047851… (위의 급수) | ||
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다. | 자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다. | ||
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예) | 예) | ||
| − | <math>N=10^3</math> | + | <math>N=10^3</math> 인 경우, <math>2E_{10}</math>이 여섯자리 수이므로, <math>M=4</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다. |
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<math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math> | <math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math> | ||
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0.12'''3'''45678'''9'''0123'''4'''5678'''901'''23'''45''''''67'''89012345678901234567890123456789 | 0.12'''3'''45678'''9'''0123'''4'''5678'''901'''23'''45''''''67'''89012345678901234567890123456789 | ||
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3.1'''39'''59265'''5'''5897'''8'''3238'''584'''64'''0613'''38053947906585258315983 | 3.1'''39'''59265'''5'''5897'''8'''3238'''584'''64'''0613'''38053947906585258315983 | ||
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다. | 자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다. | ||
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예) | 예) | ||
| − | <math>N=10^4</math> | + | <math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다. |
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<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math> | <math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math> | ||
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0.123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789 | 0.123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789 | ||
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3.141'''3'''926535'''9''''''1'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0''''''114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687 | 3.141'''3'''926535'''9''''''1'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0''''''114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687 | ||
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| − | 자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, | + | 자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다. |
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==역사== | ==역사== | ||
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| − | * [[베르누이 수|베르누이 수와 베르누이 다항식]] | + | * [[베르누이 수|베르누이 수와 베르누이 다항식]] |
| − | * [[오일러-맥클로린 공식]] | + | * [[오일러-맥클로린 공식]] |
| − | * [[디리클레 베타함수]] | + | * [[디리클레 베타함수]] |
| − | * [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]] | + | * [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]] |
| − | * [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]] | + | * [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]] |
| − | * [[원주율(파이,π)|파이]] | + | * [[원주율(파이,π)|파이]] |
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number | * http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number | ||
* http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/EulerE.html | * http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/EulerE.html | ||
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| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbnRYYUg4SDVvem8/edit | ||
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum++4%28-1%29%5E%28k-1%29/%282k-1%29,+k%3D1+to+5000 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum++4(-1)^(k-1)/(2k-1),+k%3D1+to+5000] | * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum++4%28-1%29%5E%28k-1%29/%282k-1%29,+k%3D1+to+5000 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum++4(-1)^(k-1)/(2k-1),+k%3D1+to+5000] | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| + | * Josuat-Vergès, Matthieu. “A Generalization of Euler Numbers to Finite Coxeter Groups.” arXiv:1304.0902 [math], April 3, 2013. http://arxiv.org/abs/1304.0902. | ||
| + | * [http://www.jstor.org/stable/2324715 Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions] | ||
| + | ** J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687 | ||
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| + | [[분류:목록]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| − | * [ | + | ===위키데이터=== |
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q947015 Q947015] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'euler'}, {'LEMMA': 'number'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'euler'}, {'LEMMA': 'number'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:54 기준 최신판
개요
- 오일러 수 \(E_n\)은 다음과 같이 정의됨
\[\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!\] \[\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \] \[\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\]
- 처음 몇 개의 오일러 수는 다음과 같이 주어짐 (\(n\)이 홀수이면, \(E_n=0\))
\[ \begin{array}{c|c} n & E_n \\ \hline 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 4 & 5 \\ 6 & -61 \\ 8 & 1385 \\ 10 & -50521 \\ 12 & 2702765 \\ 14 & -199360981 \\ 16 & 19391512145 \\ 18 & -2404879675441 \\ 20 & 370371188237525 \end{array} \]
재미있는 사실
\(4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi\)
\(\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^7}-\frac{101042}{N^7}+\cdots\)
좀더 엄밀하게 오차항은 다음 정도의 크기를 가짐
\(4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\)
여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)
따라서 \(N=10^{l}\) 일때, (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 \(l\)번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.
오차항에 대해서는 \(2E_{2(M+1)}\)과 \(10^{2l}\) 의 자릿수가 엇비슷해지는 \(M\)을 찾았을때 \(k=M\) 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다.
라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 \((2M+1)l\) 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.
예)
\(N=10^2\) 인 경우, \(2E_6\)가 네자리 수이므로, \(M=2\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
\(4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots\)
0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
3.14159265358979323846… (원래 파이값)
3.12159465259101047851… (위의 급수)
자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.
예)
\(N=10^3\) 인 경우, \(2E_{10}\)이 여섯자리 수이므로, \(M=4\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
\(4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots\)
0.12'34567890123456789012345'6789012345678901234567890123456789
3.1'415926535897932384626433'8327950288419716939937510582
3.13959265558978323858464061338053947906585258315983
자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.
예)
\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.
\(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)
0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789
3.141'59265358'979323846264338327950288419716939937510582
3.14139265359'1793238362643395479500'1141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687
자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다.
역사
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number
- http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/EulerE.html
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbnRYYUg4SDVvem8/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum++4(-1)^(k-1)/(2k-1),+k%3D1+to+5000
관련논문
- Josuat-Vergès, Matthieu. “A Generalization of Euler Numbers to Finite Coxeter Groups.” arXiv:1304.0902 [math], April 3, 2013. http://arxiv.org/abs/1304.0902.
- Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions
- J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687
메타데이터
위키데이터
- ID : Q947015
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'euler'}, {'LEMMA': 'number'}]
- [{'LOWER': 'euler'}, {'LEMMA': 'number'}]