"원주율의 BBP 공식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지를 개설하였습니다.)
 
 
(사용자 2명의 중간 판 29개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==개요==
  
 +
*  원주율의 값을 16진수로 표현할 때, 각 자리에 어떤 값이 오는지를 구할 수 있게 해주는 공식
 +
*  Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다
 +
*  다음 공식에 의하여 얻어짐
 +
:<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\label{bbp}</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==공식의 증명==
 +
\ref{bbp}가 다음의 등식과 동치이다
 +
:<math>\pi=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx</math>
 +
 +
다음을 이용하면 된다
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\quad \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx & = \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}x^{k-1+8i}\,dx \\
 +
{} & = \frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^{i}(8i+k)}
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
■
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==원주율의 16진법 전개==
 +
 +
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+in+base+16:<math>\pi = 3.243f6a8885a308d313198a2e03707\cdots_{16}</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==메모==
 +
* http://blog.naver.com/j3b5mj2224/80067439599
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
 +
 +
 +
==계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT2pPU1hfZFNZUFk/edit
 +
* http://arminstraub.com/math/pslq-intro
 +
 +
 +
 +
==사전 형태의 자료==
 +
 +
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey–Borwein–Plouffe_formula]
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Spigot_algorithm
 +
 +
 +
 +
==관련논문==
 +
* Kunle Adegoke, A non-PSLQ route to BBP-type formulas, arXiv:1603.08209[math.NT], March 27 2016, http://arxiv.org/abs/1603.08209v1, 10.5539/jmr.v2n2p56, http://dx.doi.org/10.5539/jmr.v2n2p56, Journal of Mathematics Research (2010) 2(2):56-64
 +
 +
* [http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/pi/pi.htm Pi: A 2000-Year Search Changes Direction]
 +
* [http://dx.doi.org/http://dx.doi.org/10.1090%2FS0025-5718-97-00856-9 On the rapid computation of various polylogarithmic constants]
 +
**  David Bailey; Peter Borwein; Simon Plouffe.Journal: Math. Comp. 66 (1997), 903-913.
 +
 +
[[분류:원주율]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q803807 Q803807]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'bailey'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'borwein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plouffe'}, {'LEMMA': 'formula'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:56 기준 최신판

개요

  • 원주율의 값을 16진수로 표현할 때, 각 자리에 어떤 값이 오는지를 구할 수 있게 해주는 공식
  • Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다
  • 다음 공식에 의하여 얻어짐

\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\label{bbp}\]



공식의 증명

\ref{bbp}가 다음의 등식과 동치이다 \[\pi=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx\]

다음을 이용하면 된다 \[ \begin{align} \quad \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx & = \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}x^{k-1+8i}\,dx \\ {} & = \frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^{i}(8i+k)} \end{align} \] ■



원주율의 16진법 전개




메모



관련된 항목들

계산 리소스


사전 형태의 자료


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'bailey'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'borwein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plouffe'}, {'LEMMA': 'formula'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=원주율의_BBP_공식&oldid=52429"