"원주율의 BBP 공식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:56 기준 최신판

개요

원주율의 값을 16진수로 표현할 때, 각 자리에 어떤 값이 오는지를 구할 수 있게 해주는 공식
Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다
다음 공식에 의하여 얻어짐

\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\label{bbp}\]

공식의 증명

\ref{bbp}가 다음의 등식과 동치이다 \[\pi=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx\]

다음을 이용하면 된다 \[ \begin{align} \quad \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx & = \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}x^{k-1+8i}\,dx \\ {} & = \frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^{i}(8i+k)} \end{align} \] ■

원주율의 16진법 전개

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+in+base+16\[\pi = 3.243f6a8885a308d313198a2e03707\cdots_{16}\]

메모

http://blog.naver.com/j3b5mj2224/80067439599

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ID : Q803807

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'bailey'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'borwein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plouffe'}, {'LEMMA': 'formula'}]

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-==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 ==개요==
-*  원주율의 값을 16진수로 표현할 때, 각 자리에 어떤 값이 오는지를 구할 수 있게 해주는 공식<br>
+*  원주율의 값을 16진수로 표현할 때, 각 자리에 어떤 값이 오는지를 구할 수 있게 해주는 공식
-*  Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다<br>
+*  Spigot 알고리즘의 대표적인 예이다
-*  다음 공식에 의하여 얻어짐<br><math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)</math><br>
+*  다음 공식에 의하여 얻어짐
+:<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\label{bbp}</math>
 ==공식의 증명==
+\ref{bbp}가 다음의 등식과 동치이다
+:<math>\pi=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx</math>
+다음을 이용하면 된다
+:<math>
+\begin{align}
+\quad \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx & = \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}x^{k-1+8i}\,dx \\
+{} & = \frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^{i}(8i+k)}
+\end{align}
+</math>
+■
-<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)</math>
-(증명)
-<math>\pi=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{4\sqrt{2}-8x^3-4\sqrt{2}x^4-8x^5}{1-x^8}\,dx</math>
-와 동치임을 다음을 통해 알 수 있다.
-<math>\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\sum_{i=0}^{\infty}{x^{k-1+8i}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}^k}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^{i}(8i+k)}</math> ■
-==원주율의 16진법 전개==
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+in+base+16<br><math>\pi = 3.243f6a8885a308d313198a2e03707\cdots_{16}</math><br>
-==재미있는 사실==
-* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
+==원주율의 16진법 전개==
-==역사==
+* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+in+base+16:<math>\pi = 3.243f6a8885a308d313198a2e03707\cdots_{16}</math>
-* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
-*
 ==메모==
+* http://blog.naver.com/j3b5mj2224/80067439599
-http://blog.naver.com/j3b5mj2224/80067439599
 ==관련된 항목들==
+==계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT2pPU1hfZFNZUFk/edit
+* http://arminstraub.com/math/pslq-intro
-==수학용어번역==
-*   <br>
+==사전 형태의 자료==
-* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=spigot
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey–Borwein–Plouffe_formula]
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Spigot_algorithm
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Bailey-Borwein-Plouffe+formula
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 ==관련논문==
+* Kunle Adegoke, A non-PSLQ route to BBP-type formulas, arXiv:1603.08209[math.NT], March 27 2016, http://arxiv.org/abs/1603.08209v1, 10.5539/jmr.v2n2p56, http://dx.doi.org/10.5539/jmr.v2n2p56, Journal of Mathematics Research (2010) 2(2):56-64
 * [http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/pi/pi.htm Pi: A 2000-Year Search Changes Direction]
-* [http://dx.doi.org/http://dx.doi.org/10.1090%2FS0025-5718-97-00856-9 On the rapid computation of various polylogarithmic constants]<br>
+* [http://dx.doi.org/http://dx.doi.org/10.1090%2FS0025-5718-97-00856-9 On the rapid computation of various polylogarithmic constants]
-**  David Bailey; Peter Borwein; Simon Plouffe.Journal: Math. Comp. 66 (1997), 903-913.<br>
+**  David Bailey; Peter Borwein; Simon Plouffe.Journal: Math. Comp. 66 (1997), 903-913.
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://www.ams.org/mathscinet
-* http://dx.doi.org/
-==블로그==
+[[분류:원주율]]
-네이버 ]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q803807 Q803807]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'bailey'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'borwein'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'plouffe'}, {'LEMMA': 'formula'}]