"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | ==개요== | |
| − | * <math>ax^2+bxy+cy^2</math> | + | * 정수 <math>a,b,c</math>에 대하여 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 다항식을 정수계수 이변수 이차형식이라 함 |
| − | * | + | * 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작 |
| + | ** 이차형식 <math>x^2+y^2</math>에 대한 연구 | ||
| + | ** [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]] 항목 참조 | ||
| + | * 이차 수체를 공부하는 것과 밀접하게 연관 | ||
| + | ** [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]] 항목 참조 | ||
| + | ** 양의 정부호인 이차형식을 공부하는 것은 복소이차수체와 연관 | ||
| + | ** [[펠 방정식(Pell's equation)]] <math>x^2-dy^2=1, d\in \mathbb{N}</math>은 실이차수체와 연관 | ||
| + | * [[대수적수론]]과 정수 계수 위에 정의된 격자 이론 등으로 발전 | ||
| + | * [[이차형식]]은 수학의 중요한 연구 주제 | ||
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| + | * 판별식:<math>\Delta=b^2-4ac</math> | ||
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| − | + | * 다음 두 변환에 의해 같아지는 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의 | |
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| − | + | * 이러한 변환을 행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며, 이는 [[모듈라 군(modular group)]]을 생성함 | |
| + | :<math>T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , R=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} </math> | ||
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| + | </math>로 두면, <math>S=T^{-1}RT^{-1}</math> | ||
| + | * 즉 <math>f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)</math> 인 정수 <math>a,b,c,d,\, ad-bc= 1</math>가 존재하면, <math>f\sim g</math> 이라 함 | ||
| − | + | ==중요한 문제들== | |
| + | * [[정수의 이차형식 표현]] | ||
| + | ** 예) <math>x^2+ny^2</math> 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가? | ||
| + | ** 예) <math>x^2+ny^2</math> 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가? 예로 [[이차형식 x^2+27y^2]] 항목 참조 | ||
| + | * 주어진 판별식<math>\Delta<0</math> 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제 | ||
| + | ** <math>\Delta=b^2-4ac</math>를 만족시키는 모든 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것 | ||
| + | ** 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다 | ||
| + | ** 판별식이 <math>\Delta</math>인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 <math>h(\Delta)</math>를 <math>\Delta</math>에 대한 [[수체의 유수 (class number)|유수]] 라 함 | ||
| + | ** genus의 개념 | ||
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| + | * 모듈라 군의 작용에 의한 복소상반평면의 fundamental domain은 다음과 같다:<math>R = \left\{ \tau \in \mathbb{H}: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}</math> + 경계조건 | ||
| + | * 기약 형식 | ||
| + | ** 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름 | ||
| + | ** <math>|b|\leq a \leq c</math> and <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math> | ||
| + | * <math>ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)</math>, <math>\mbox{Im}\, \tau >0</math> 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다:<math>|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}</math>:<math>a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1</math> fundamental domain의 경계조건은 <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math> 로 옮겨짐 | ||
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| − | + | <math>\tau</math> (<math>\mbox{Im}\, \tau >0</math>) 에 대응되는 이차형식은 <math>x=aX+bY, y=cX+dY</math> (여기서 <math>a,b,c,d</math>는 정수이고 <math>ad-bc= 1</math>)에 의해 <math>\frac{a\tau+b}{c\tau+d}</math> 에 대응되는 이차형식으로 변환된다. | |
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| + | * 자세한 목록은 [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록]] 항목 참조 | ||
| + | * <math>\Delta=b^2-4ac=-3</math> | ||
** <math>x^2+xy+y^2</math> | ** <math>x^2+xy+y^2</math> | ||
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| − | ** <math>x^2+ | + | ** [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]] 항목 참조 |
| − | * <math>\Delta=b^2-4ac=-8</math | + | * <math>\Delta=b^2-4ac=-8</math> |
** <math>x^2+2y^2</math> | ** <math>x^2+2y^2</math> | ||
| − | * <math>\Delta=b^2-4ac=- | + | * <math>\Delta=b^2-4ac=-15</math> |
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| − | * <math>\Delta=b^2-4ac=- | + | ** <math>h(\Delta)=2</math> 이 되는 첫번째 예 |
| − | + | * <math>\Delta=b^2-4ac=-20</math> | |
| − | ** <math>x^2+ | + | ** <math>x^2+5y^2</math>, <math>2x^2+2xy+3y^2</math> |
| − | * <math>\Delta=b^2-4ac=- | + | ** [[이차형식 x^2+5y^2]] |
| − | ** | + | * <math>\Delta=b^2-4ac=-23</math> |
| − | + | ** <math>x^2+xy+6y^2</math>, <math>2x^2-xy+3y^2</math>, <math>2x^2+xy+3y^2</math> | |
| − | * <math>\Delta=b^2-4ac=- | + | ** <math>h(\Delta)=3</math> 이 되는 첫번째 예 |
| − | + | ** [[숫자 23과 다항식 x³-x+1]] 참조 | |
| − | ** <math>x^2+ | + | * <math>\Delta=b^2-4ac=-40</math> |
| − | ** <math>h(\Delta)= | + | ** <math>x^2+10y^2</math>, <math>2x^2+5y^2</math> |
| − | + | * <math>\Delta=b^2-4ac=-163</math> | |
| − | + | ** <math>x^2+xy+41y^2</math> | |
| − | + | ** <math>h(\Delta)=1</math> 이 되는 가장 큰 예 | |
| − | + | ** [[오일러의 소수생성다항식 x²+x+41]] , [[숫자 163]] 참조 | |
| + | * <math>\Delta=b^2-4ac=-240</math> | ||
| + | ** <math>x^2+58y^2</math>, <math>2x^2+29y^2</math> | ||
| + | ** 58에 대해서는 [[오일러의 convenient number ( Idoneal number)]] 항목 참조 | ||
| + | * 더 자세한 목록은 [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록]] 항목 참조 | ||
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| − | * 기본판별식(fundamental discriminant) | + | ==가우스의 class number one 문제== |
| − | ** <math>\Delta=\Delta_0f^2</math> | + | * 기본판별식(fundamental discriminant) |
| − | * 가우스의 문제 | + | ** <math>\Delta=\Delta_0f^2</math> 의 형태로 쓸 수 없는 <math>\Delta</math> (<math>\Delta_0</math>는 적당한 판별식, <math>f</math>는 1보다 큰 정수) |
| − | ** | + | ** [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론|이차 수체(quadratic number fields)]] 로부터 얻어지는 판별식임 |
| − | * [[가우스의 class number one 문제]] | + | * 가우스의 문제 |
| + | ** 기본판별식 <math>\Delta<0</math> 에 대하여 <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163</math> | ||
| + | * 일반적으로는 다음과 같음 | ||
| + | ** <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163</math> | ||
| + | * [[가우스의 class number one 문제]] 항목에서 자세히 다룸 | ||
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| − | + | ==genus== | |
| − | + | * 판별식이 <math>\Delta</math>인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 <math>(\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}</math>의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다 | |
| + | * http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/09ConwayNotesPrelim.pdf | ||
| + | * On the Development of the Genus of Quadratic Forms | ||
| + | ** Günther Frei, Ann. Sci. Math. Québec 3 (1979), no 1, 5-62 | ||
| + | * [http://www.math.umt.edu/tmme/vol6no1and2/TMME_vol6nos1and2_article12_pp.137_150.pdf The Origins of the Genus Concept in Quadratic Forms] | ||
| + | ** Mark Beintema & Azar Khosravani, The Montana Mathematics Enthusiast | ||
| + | * [http://arxiv.org/abs/math.NT/0207306 The development of the principal genus theorem] | ||
| + | ** Franz Lemmermeyer, ArXiv, 16 Jul 2002 | ||
| + | * [http://dx.doi.org/10.1006/hmat.1995.1018 On euler's partition of forms into genera]A.A. Antropov | ||
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| − | + | ==이차형식과 이차 수체의 아이디얼 사이의 대응== | |
| − | + | * 이차형식과 이차 수체의 아이디얼을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음 | |
| + | ** [[이차형식의 합성]]이란 <math>(x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2</math>와 같은 공식의 일반화 | ||
| + | * <math>ax^2+bxy+cy^2</math>가 양의정부호 즉 <math>a>0</math>, <math>\Delta=b^2-4ac<0</math> 를 만족할 때, 대응되는 아이디얼은 <math>[2a, -b+\sqrt\Delta]</math>로 주어짐 | ||
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| − | ==== | + | ==메모== |
| + | * http://swc.math.arizona.edu/aws/09/index.html | ||
| − | + | ==역사== | |
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form | * http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem | * http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem | ||
| − | * http:// | + | * http://mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html |
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| − | + | * [[이차형식]] | |
| + | * [[모듈라 군(modular group)]] | ||
| + | * [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]] | ||
| + | * [[펠 방정식(Pell's equation)]] | ||
| + | * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | ||
| + | * [[오일러의 convenient number ( Idoneal number)]] | ||
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| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * Lemmermeyer, Franz. "Binary Quadratic Forms." (2010). http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/bf.pdf | ||
| + | * http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter4.pdf | ||
| + | * J.P. Serre <math>\Delta=b^2-4ac</math>, Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10 | ||
| + | ** [[파일:1943100-serre on class number.pdf]] | ||
| + | * Dorian Goldfeld [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183552617 Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields], Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37 | ||
| − | + | ==관련논문== | |
| + | * Uludağ, A. Muhammed, Ayberk Zeytin, and Merve Durmuş. “Binary Quadratic Forms as Dessins.” arXiv:1508.01677 [math], August 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01677. | ||
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| − | + | [[분류:정수론]] | |
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| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q864134 Q864134] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'binary'}, {'LOWER': 'quadratic'}, {'LEMMA': 'form'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:59 기준 최신판
개요
- 정수 \(a,b,c\)에 대하여 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 다항식을 정수계수 이변수 이차형식이라 함
- 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작
- 이차형식 \(x^2+y^2\)에 대한 연구
- 페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리 항목 참조
- 이차 수체를 공부하는 것과 밀접하게 연관
- 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론 항목 참조
- 양의 정부호인 이차형식을 공부하는 것은 복소이차수체와 연관
- 펠 방정식(Pell's equation) \(x^2-dy^2=1, d\in \mathbb{N}\)은 실이차수체와 연관
- 대수적수론과 정수 계수 위에 정의된 격자 이론 등으로 발전
- 이차형식은 수학의 중요한 연구 주제
기본용어
- 판별식\[\Delta=b^2-4ac\]
- primitive 이차형식은 \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)으로 정의됨
정수계수 이변수 이차형식의 동치류
- 다음 두 변환에 의해 같아지는 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
\[x \to x+y, y \to y\] \[x \to x, y \to x+y\]
- 이러한 변환을 행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며, 이는 모듈라 군(modular group)을 생성함
\[T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , R=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] \[ S=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \]로 두면, \(S=T^{-1}RT^{-1}\)
- 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(a,b,c,d,\, ad-bc= 1\)가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
중요한 문제들
- 정수의 이차형식 표현
- 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
- 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가? 예로 이차형식 x^2+27y^2 항목 참조
- 주어진 판별식\(\Delta<0\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
- \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
- 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다
- 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 유수 라 함
- genus의 개념
기약 형식과 fundamental domain
- 주어진 이차형식이 있을때,
- 모듈라 군의 작용에 의한 복소상반평면의 fundamental domain은 다음과 같다\[R = \left\{ \tau \in \mathbb{H}: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\] + 경계조건
- 기약 형식
- 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
- \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
- \(ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)\), \(\mbox{Im}\, \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다\[|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\]\[a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\] fundamental domain의 경계조건은 \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\) 로 옮겨짐
- 정리
\(\tau\) (\(\mbox{Im}\, \tau >0\)) 에 대응되는 이차형식은 \(x=aX+bY, y=cX+dY\) (여기서 \(a,b,c,d\)는 정수이고 \(ad-bc= 1\))에 의해 \(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\) 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.
판별식이 작은 경우의 기약형식 예
- 자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조
- \(\Delta=b^2-4ac=-3\)
- \(x^2+xy+y^2\)
- 이차형식 x^2+xy+y^2
- \(\Delta=b^2-4ac=-4\)
- \(x^2+y^2\)
- 페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리 항목 참조
- \(\Delta=b^2-4ac=-8\)
- \(x^2+2y^2\)
- \(\Delta=b^2-4ac=-15\)
- \(x^2+xy+4y^2\), \(2x^2+xy+2y^2\)
- \(h(\Delta)=2\) 이 되는 첫번째 예
- \(\Delta=b^2-4ac=-20\)
- \(x^2+5y^2\), \(2x^2+2xy+3y^2\)
- 이차형식 x^2+5y^2
- \(\Delta=b^2-4ac=-23\)
- \(x^2+xy+6y^2\), \(2x^2-xy+3y^2\), \(2x^2+xy+3y^2\)
- \(h(\Delta)=3\) 이 되는 첫번째 예
- 숫자 23과 다항식 x³-x+1 참조
- \(\Delta=b^2-4ac=-40\)
- \(x^2+10y^2\), \(2x^2+5y^2\)
- \(\Delta=b^2-4ac=-163\)
- \(x^2+xy+41y^2\)
- \(h(\Delta)=1\) 이 되는 가장 큰 예
- 오일러의 소수생성다항식 x²+x+41 , 숫자 163 참조
- \(\Delta=b^2-4ac=-240\)
- \(x^2+58y^2\), \(2x^2+29y^2\)
- 58에 대해서는 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 항목 참조
- 더 자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조
가우스의 class number one 문제
- 기본판별식(fundamental discriminant)
- \(\Delta=\Delta_0f^2\) 의 형태로 쓸 수 없는 \(\Delta\) (\(\Delta_0\)는 적당한 판별식, \(f\)는 1보다 큰 정수)
- 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
- 가우스의 문제
- 기본판별식 \(\Delta<0\) 에 대하여 \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\)
- 일반적으로는 다음과 같음
- \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163\)
- 가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸
genus
- 판별식이 \(\Delta\)인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 \((\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}\)의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다
- http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/09ConwayNotesPrelim.pdf
- On the Development of the Genus of Quadratic Forms
- Günther Frei, Ann. Sci. Math. Québec 3 (1979), no 1, 5-62
- The Origins of the Genus Concept in Quadratic Forms
- Mark Beintema & Azar Khosravani, The Montana Mathematics Enthusiast
- The development of the principal genus theorem
- Franz Lemmermeyer, ArXiv, 16 Jul 2002
- On euler's partition of forms into generaA.A. Antropov
이차형식과 이차 수체의 아이디얼 사이의 대응
- 이차형식과 이차 수체의 아이디얼을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음
- 이차형식의 합성이란 \((x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2\)와 같은 공식의 일반화
- \(ax^2+bxy+cy^2\)가 양의정부호 즉 \(a>0\), \(\Delta=b^2-4ac<0\) 를 만족할 때, 대응되는 아이디얼은 \([2a, -b+\sqrt\Delta]\)로 주어짐
메모
역사
사전형태의 참고자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form
- http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem
- http://mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html
관련된 항목들
- 이차형식
- 모듈라 군(modular group)
- 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
- 펠 방정식(Pell's equation)
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- 오일러의 convenient number ( Idoneal number)
리뷰, 에세이, 강의노트
- Lemmermeyer, Franz. "Binary Quadratic Forms." (2010). http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/bf.pdf
- http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter4.pdf
- J.P. Serre \(\Delta=b^2-4ac\), Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
- Dorian Goldfeld Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
관련논문
- Uludağ, A. Muhammed, Ayberk Zeytin, and Merve Durmuş. “Binary Quadratic Forms as Dessins.” arXiv:1508.01677 [math], August 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01677.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q864134
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'binary'}, {'LOWER': 'quadratic'}, {'LEMMA': 'form'}]