"정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)"의 두 판 사이의 차이
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Pythagoras0 (토론 | 기여) |
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| − | + | ==개요== | |
| − | + | * 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>가 주어져 있을 때, 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>f(x) \pmod p</math> 를 생각한다. | |
| + | * 이 때, 어느 소수 <math>p</math>에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 <math>p</math>가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가? | ||
| + | * 이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 기본이 되는 질문들 | ||
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| − | * 정수계수 다항식 f(x)가 | + | * [[이차잉여의 상호법칙]] 에서 가져옴 |
| − | * | + | * 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가 |
| − | * | + | * 인수분해되는 방식에 따라서 소수 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙' |
| + | * <math>f(x)=x^2-5</math>라면, 홀수인 소수 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다 | ||
| + | ** <math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f (x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해됨 | ||
| + | ** <math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f (x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음 | ||
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| − | + | ==이차잉여의 상호법칙== | |
| − | * 정수 계수 이차 | + | * 정수 계수 이차 다항식 <math>x^2-a</math> 의 문제 |
| − | * <math>x^2-a\pmod p</math> | + | * <math>x^2-a\pmod p</math> 가 <math>p</math> 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문 |
| − | * 자세한 사항은 [[이차잉여의 상호법칙]] | + | * 자세한 사항은 [[이차잉여의 상호법칙]] 에서 다루기로 함. |
* 이차수체 | * 이차수체 | ||
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| − | + | ==원분다항식의 상호법칙== | |
| − | * 상호법칙의 질문에 | + | * 상호법칙의 질문에 따라 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음. |
| − | * | + | * 원분다항식 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제 |
| − | + | ;정리 | |
| + | <math>p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 order가 <math>r</math>이라 하자. 즉 <math>r</math>이 <math>p^r=1\pmod n</math> 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자. | ||
| + | 그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 <math>r</math>인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다. | ||
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| − | + | ;증명 | |
| − | + | 원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdots f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_ 1</math>의 차수가 <math>s</math>라고 하자. | |
| − | + | <math>\mathbb{F}_p</math>의 적당한 체확장에서 기약다항식 <math>f_ 1</math>의 근 <math>\alpha</math> 를 찾자. 그러면, <math>\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 을 얻는다. | |
| − | ( | + | <math>f_ 1(\alpha)=0</math> 이므로, <math>\Phi_n(\alpha)=0</math>이고, 따라서 <math>\alpha^n=1</math> 이다. |
| − | <math>\ | + | 유한체 <math>\mathbb F_{p^s}</math> 는 방정식 <math>x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)</math> 의 근으로 구성되므로, <math>n|{p^s-1}</math> 을 얻는다. |
| + | 따라서 <math>p^s=1\pmod n</math>이고, <math>s\geq r</math>을 얻는다. | ||
| − | <math>\ | + | 이제 <math>s\leq r</math> 임을 보이자. <math>r</math>의 정의로부터, <math>n | p^r-1</math> 임을 안다. |
| − | + | <math>\alpha^n=1</math>이므로, <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다. | |
| − | + | <math>\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 이므로, <math>s\leq r</math> 이다. | |
| − | + | 따라서 <math>r=s</math> 임이 증명된다. ■ | |
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| − | + | ;따름정리 | |
| − | + | <math>n | (p-1)</math> <math>\iff</math> <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해된다 | |
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| − | + | 위의 정리에서 <math>r=1</math>인 경우에 해당한다. ■ | |
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| − | <math> | + | ==다른 예== |
| + | * <math>x^3-x+1 \pmod p</math> 가 일차식으로 분해 <math>\iff</math> <math>x^2+27y^2=p</math> 의 정수해가 존재 | ||
| + | * [[다항식 x^3-x+1]] 항목 참조 | ||
| + | * <math>x^3-2 \pmod p</math>가 일차식으로 분해될 조건은 <math>x^2+27y^2=p</math>의 정수해와 관련 | ||
| + | * [[이차형식 x^2+27y^2]] 항목 참조 | ||
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| − | + | ==디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙== | |
| − | 프로베니우스의 | + | * <math>n | (p-1)</math> 이면, <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 <math>\text{Frob}_p</math> 가 체확장 <math>\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)</math>의 갈루아군의 항등원임을 의미한다. |
| + | * [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리|프로베니우스의 밀도 정리]]에 의하면, <math>\text{Frob}_p</math>가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 <math>p\equiv 1 \pmod n</math> 가 증명된다. | ||
| + | * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] 항목도 참조. | ||
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| + | * [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리]]에서 다룸 | ||
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* 일반적인 수체 | * 일반적인 수체 | ||
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* Kronecker-Weber theorem and Ray class field | * Kronecker-Weber theorem and Ray class field | ||
* 이차잉여의 상호법칙 | * 이차잉여의 상호법칙 | ||
| + | * 디리클레 정리 | ||
| + | * [[가우스 합]] | ||
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| + | * [http://math.columbia.edu/%7Epugin/Teaching/USemBlog_files/CycloRed.pdf http://math.columbia.edu/~pugin/Teaching/USemBlog_files/CycloRed.pdf] | ||
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| + | ==관련된 항목들== | ||
* [[이차잉여의 상호법칙]] | * [[이차잉여의 상호법칙]] | ||
| + | * [[3차 상호법칙]] | ||
| + | * [[4차 상호법칙]] | ||
* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] | * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] | ||
| − | * [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리 | + | * [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리]] |
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
* [[합동식과 군론]] | * [[합동식과 군론]] | ||
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| − | * [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?] | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== |
| − | + | * Dalawat, Chandan Singh. “Classical Reciprocity Laws.” arXiv:1406.1857 [math], June 6, 2014. http://arxiv.org/abs/1406.1857. | |
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2320065 Rational Reciprocity Laws] | + | * R.Taylor, [http://www.math.harvard.edu/%7Ertaylor/shaw.pdf Reciprocity laws and density theorems] |
| − | + | * R.Taylor, [http://math.berkeley.edu/sites/default/files/pages/taylor_talk_1.pdf Reciprocity laws and density theorems], 강연 슬라이드 | |
| − | * [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes] | + | * B. F. Wyman, [http://www.jstor.org/stable/2317083 What is a Reciprocity Law?] <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586 |
| − | + | * Emma Lehmer [http://www.jstor.org/stable/2320065 Rational Reciprocity Laws], <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 467-472 | |
| + | * B. Sury [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes], Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월 | ||
** http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf | ** http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf | ||
| − | * [http://www.ams.org/proc/1996-124-06/S0002-9939-96-03210-8/home.html Polynomials with roots modulo every integer] | + | * Daniel Berend; Yuri Bilu, [http://www.ams.org/proc/1996-124-06/S0002-9939-96-03210-8/home.html Polynomials with roots modulo every integer] Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1663-1671. |
| − | + | [[분류:정수론]] | |
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| − | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q5446972 Q5446972] | |
| − | * | + | ===Spacy 패턴 목록=== |
| − | * | + | * [{'LOWER': 'field'}, {'LEMMA': 'arithmetic'}] |
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2021년 2월 17일 (수) 04:59 기준 최신판
개요
- 정수계수 다항식 \(f(x)\)가 주어져 있을 때, 소수 \(p\)에 대하여 \(f(x) \pmod p\) 를 생각한다.
- 이 때, 어느 소수 \(p\)에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 \(p\)가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
- 이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 기본이 되는 질문들
'상호법칙'이란
- 이차잉여의 상호법칙 에서 가져옴
- 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
- 인수분해되는 방식에 따라서 소수 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
- \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 소수 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
- \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨
- \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
이차잉여의 상호법칙
- 정수 계수 이차 다항식 \(x^2-a\) 의 문제
- \(x^2-a\pmod p\) 가 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
- 자세한 사항은 이차잉여의 상호법칙 에서 다루기로 함.
- 이차수체
원분다항식의 상호법칙
- 상호법칙의 질문에 따라 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
- 원분다항식 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
- 정리
\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 \(r\)이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자. 그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 \(r\)인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.
- 증명
원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 \(\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdots f_l \pmod p\) 를 얻고, \(f_ 1\)의 차수가 \(s\)라고 하자.
\(\mathbb{F}_p\)의 적당한 체확장에서 기약다항식 \(f_ 1\)의 근 \(\alpha\) 를 찾자. 그러면, \(\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 을 얻는다.
\(f_ 1(\alpha)=0\) 이므로, \(\Phi_n(\alpha)=0\)이고, 따라서 \(\alpha^n=1\) 이다.
유한체 \(\mathbb F_{p^s}\) 는 방정식 \(x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)\) 의 근으로 구성되므로, \(n|{p^s-1}\) 을 얻는다. 따라서 \(p^s=1\pmod n\)이고, \(s\geq r\)을 얻는다.
이제 \(s\leq r\) 임을 보이자. \(r\)의 정의로부터, \(n | p^r-1\) 임을 안다.
\(\alpha^n=1\)이므로, \(\alpha^{p^r-1}=1\) 즉 \(\alpha^{p^r}=\alpha\) 가 된다. 이는 \(\alpha\in \mathbb F_{p^r}\) 임을 의미한다.
\(\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 이므로, \(s\leq r\) 이다.
따라서 \(r=s\) 임이 증명된다. ■
- 따름정리
\(n | (p-1)\) \(\iff\) \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다
- 증명
위의 정리에서 \(r=1\)인 경우에 해당한다. ■
다른 예
- \(x^3-x+1 \pmod p\) 가 일차식으로 분해 \(\iff\) \(x^2+27y^2=p\) 의 정수해가 존재
- 다항식 x^3-x+1 항목 참조
- \(x^3-2 \pmod p\)가 일차식으로 분해될 조건은 \(x^2+27y^2=p\)의 정수해와 관련
- 이차형식 x^2+27y^2 항목 참조
디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙
- \(n | (p-1)\) 이면, \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 \(\text{Frob}_p\) 가 체확장 \(\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)\)의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.
- 프로베니우스의 밀도 정리에 의하면, \(\text{Frob}_p\)가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 \(p\equiv 1 \pmod n\) 가 증명된다.
- 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 항목도 참조.
프로베니우스의 밀도 정리
체보타레프 밀도 정리
- 일반적인 수체
원분체의 arithmetic
- Kronecker-Weber theorem and Ray class field
- 이차잉여의 상호법칙
- 디리클레 정리
- 가우스 합
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Dalawat, Chandan Singh. “Classical Reciprocity Laws.” arXiv:1406.1857 [math], June 6, 2014. http://arxiv.org/abs/1406.1857.
- R.Taylor, Reciprocity laws and density theorems
- R.Taylor, Reciprocity laws and density theorems, 강연 슬라이드
- B. F. Wyman, What is a Reciprocity Law? The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
- Emma Lehmer Rational Reciprocity Laws, The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 467-472
- B. Sury Frobenius and his Density theorem for primes, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월
- Daniel Berend; Yuri Bilu, Polynomials with roots modulo every integer Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1663-1671.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q5446972
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'field'}, {'LEMMA': 'arithmetic'}]