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크기가 N인 유한모집단의 모평균이 <math>\mu</math>, 모분산이 <math>\sigma^2</math> 이라고 가정하자.
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==개요==
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* [[여론조사와 수학|여론조사]] 에 응용되는 통계의 기초 개념
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* 크기가 n인 표본평균의 분산은 모분산의 1/n 배가 된다
  
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여론조사의 경우라면, 모집단의 <math>\mu</math>와 <math>\sigma^2</math>를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 춫
 
  
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크기가 n인 표본 <math>y_1,\cdots,y_n</math> 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균과 표본분산을 다음과 같이 얻는다.
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==유한모집단, 비복원추출의 경우==
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* 크기가 N인 유한모집단 <math>\{x_1,\cdots, x_N\}</math>의 모평균이 <math>\mu</math>, 모분산이 <math>\sigma^2</math> 라 하자. 이는 다음과 같이 주어진다
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:<math>
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\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}
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</math>
  
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<math>\bar{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}</math>
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:<math>
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\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^2
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</math>
  
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<math>s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2</math>
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* 여론조사는, 모집단의 <math>\mu</math>와 <math>\sigma^2</math>를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다.
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* 크기가 n인 표본 <math>\{y_1,\cdots,y_n\}\subseteq \{x_1,\cdots, x_N\}</math> 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 <math>\bar{y}</math>과 표본분산 <math>s^2</math>을 다음과 같이 정의한다 :
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:<math>\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}</math>
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:<math>s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2</math>
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* <math>\bar{y}</math>와 <math>s^2</math> 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 <math>\mu</math>, 모분산 <math>\sigma^2</math>를 통하여 표현할 수 있다.
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* 확률변수 <math>\bar{y}</math>의 경우
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:<math>E(\bar{y})=\mu,</math>
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:<math>V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})</math>
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* 확률변수 <math>s^2</math>의 경우
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:<math>E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2</math>
  
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===모평균과 모분산의 추정===
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*  평균이 <math>\mu</math>인 모집단에서 n 개의 표본 <math>y_1,\cdots,y_n</math> 을 추출할 때 표본평균 <math>\bar{y}</math>는 <math>\mu</math>의 불편추정량이다. 즉:<math>E(\bar{y})=\mu</math> 이 성립한다.
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*  평균이 <math>\mu</math>, 분산  <math>\sigma^2</math> 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본  <math>y_1,\cdots,y_n</math>을 추출할 때 표본분산  <math>s^2</math>은  <math>\frac{N}{N-1}\sigma^2</math>의 불편추정량이다. 즉:<math>E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2</math> 이 성립한다.
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* 모평균 <math>\mu</math>은 표본평균 <math>\bar{y}</math> 로 추정할 수 있다
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* 표본평균의 분산 <math>V(\bar{y})</math>은 표본분산 <math>s^2</math>를 이용하여  <math>\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})</math> 로 추정할 수 있다
  
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==예==
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* 모집단이 <math>\{1,2,3,4,5,6\}</math> 주어진 경우를 생각하자.
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* 모평균 <math>\mu</math>, 모분산 <math>\sigma^2</math>은 다음과 같이 주어진다
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:<math>\mu=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}</math>
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:<math>\sigma^2=\sum_{i=1}^{6}(x_i-\mu)^2 = \frac{35}{12}</math>
  
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표본분산
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===표본의 크기가 2인 경우===
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\begin{array}{c|c|c|c}
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i & \text{sample }i  & \bar{y}_i & (\bar{y}_i-\mu)^2 & s_i^2 \\
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1 & \{1,2\} & \frac{3}{2} & 4 & \frac{1}{2} \\
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2 & \{1,3\} & 2 & \frac{9}{4} & 2 \\
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3 & \{1,4\} & \frac{5}{2} & 1 & \frac{9}{2} \\
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4 & \{1,5\} & 3 & \frac{1}{4} & 8 \\
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5 & \{1,6\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{25}{2} \\
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6 & \{2,3\} & \frac{5}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\
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7 & \{2,4\} & 3 & \frac{1}{4} & 2 \\
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8 & \{2,5\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{9}{2} \\
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9 & \{2,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 8 \\
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10 & \{3,4\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
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11 & \{3,5\} & 4 & \frac{1}{4} & 2 \\
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12 & \{3,6\} & \frac{9}{2} & 1 & \frac{9}{2} \\
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13 & \{4,5\} & \frac{9}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\
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14 & \{4,6\} & 5 & \frac{9}{4} & 2 \\
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15 & \{5,6\} & \frac{11}{2} & 4 & \frac{1}{2} \\
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\end{array}
  
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n-1로 나누기 vs n으로 나누기
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표본평균 <math>\bar{y}</math>은 <math>\left\{\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4,\frac{7}{2},4,\frac{9}{2},\frac{9}{2},5,\frac{11}{2}\right\}</math> 을 모집단으로 하며, 이들의 평균 <math>E(\bar{y})</math>과 분산 <math>V(\bar{y})</math> 는 다음과 같이 계산된다
 +
:<math>
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E(\bar{y})=\frac{\sum_{i=1}^{15} \bar{y}_i}{15}=\frac{\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}+3+\frac{7}{2}+\frac{5}{2}+3+\frac{7}{2}+4+\frac{7}{2}+4+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+5+\frac{11}{2}}{15}=\frac{7}{2}=\mu
 +
</math>
  
−
 
+
:<math>
 +
V(\bar{y})=\frac{\sum_{i=1}^{15} (\bar{y}_i-\mu)^2}{15}=\frac{4+\frac{9}{4}+1+\frac{1}{4}+0+1+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+1+1+\frac{9}{4}+4}{15}=\frac{7}{6}=\frac{(N-n)}{(N-1)}\frac{\sigma^2}{n}
 +
</math>
  
−
n-1 로 나누는 경우, 비편향분산이라고 불리기도 하며, 모집단의 분산에 대한 불편추정량이 되는 좋은 성질을 갖는다.
+
표본분산 <math>s^2</math>은 <math>\left\{\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{25}{2},\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},\frac{1}{2},2,\frac{1}{2}\right\}</math> 을 모집단으로 하며, 이들의 평균 <math>E(s^2)</math>은 다음과 같이 계산된다
 +
:<math>
 +
E(s^2)=\frac{\sum_{i=1}^{15} s_i^2}{15}=\frac{\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+8+\frac{25}{2}+\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+8+\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+2+\frac{1}{2}}{15}=\frac{7}{2}=\frac{N}{N-1} \sigma ^2
 +
</math>
  
−
http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Population_variance_and_sample_variance
 
  
−
http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
+
===표본의 크기가 3인 경우===
 +
\begin{array}{c|c|c|c}
 +
i & \text{sample }i  & \bar{y}_i & (\bar{y}_i-\mu)^2 & s_i^2 \\
 +
1 & \{1,2,3\} & 2 & \frac{9}{4} & 1 \\
 +
2 & \{1,2,4\} & \frac{7}{3} & \frac{49}{36} & \frac{7}{3} \\
 +
3 & \{1,2,5\} & \frac{8}{3} & \frac{25}{36} & \frac{13}{3} \\
 +
4 & \{1,2,6\} & 3 & \frac{1}{4} & 7 \\
 +
5 & \{1,3,4\} & \frac{8}{3} & \frac{25}{36} & \frac{7}{3} \\
 +
6 & \{1,3,5\} & 3 & \frac{1}{4} & 4 \\
 +
7 & \{1,3,6\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{19}{3} \\
 +
8 & \{1,4,5\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{13}{3} \\
 +
9 & \{1,4,6\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{19}{3} \\
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10 & \{1,5,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 7 \\
 +
11 & \{2,3,4\} & 3 & \frac{1}{4} & 1 \\
 +
12 & \{2,3,5\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{7}{3} \\
 +
13 & \{2,3,6\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{13}{3} \\
 +
14 & \{2,4,5\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{7}{3} \\
 +
15 & \{2,4,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 4 \\
 +
16 & \{2,5,6\} & \frac{13}{3} & \frac{25}{36} & \frac{13}{3} \\
 +
17 & \{3,4,5\} & 4 & \frac{1}{4} & 1 \\
 +
18 & \{3,4,6\} & \frac{13}{3} & \frac{25}{36} & \frac{7}{3} \\
 +
19 & \{3,5,6\} & \frac{14}{3} & \frac{49}{36} & \frac{7}{3} \\
 +
20 & \{4,5,6\} & 5 & \frac{9}{4} & 1 \\
 +
\end{array}
  
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Bessel's correction yields an unbiased estimator of the population variance
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표본평균 <math>\bar{y}</math>의 평균 <math>E(\bar{y})</math>과 분산 <math>V(\bar{y})</math> 는 다음과 같다
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:<math>
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E(\bar{y})=\frac{7}{2}=\mu
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</math>
  
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http://www.minitab.com/support/documentation/answers/Why%20is%20S2%20the%20unbiased%20estimator.pdf
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:<math>
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V(\bar{y})=\frac{7}{12}=\frac{(6-3)}{(6-1)}\frac{\sigma^2}{3}
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</math>
  
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편향분산
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표본분산 <math>s^2</math>의 평균 <math>E(s^2)</math>은 다음과 같다
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:<math>
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E(s^2)=\frac{7}{2}=\frac{6}{6-1} \sigma ^2
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</math>
  
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관련도서
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[http://www.postech.ac.kr/%7Ehyelee/book/Chapter5.pdf http://www.postech.ac.kr/~hyelee/book/Chapter5.pdf]
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==표본평균==
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==표본분산==
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* n-1로 나누기 vs n으로 나누기
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* n-1 로 나누는 경우, 비편향분산이라고 불리기도 하며, 모집단의 분산에 대한 불편추정량이 되는 좋은 성질을 갖는다.
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Population_variance_and_sample_variance
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
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* Bessel's correction yields an unbiased estimator of the population variance
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* http://www.minitab.com/support/documentation/answers/Why%20is%20S2%20the%20unbiased%20estimator.pdf
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* 편향분산
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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* [[여론조사와 수학]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYjgwMWFmOTUtMGFmMi00YzE2LThjMWQtZDNkMTEwZGFlYjU5&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://functions.wolfram.com/
 +
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 +
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 +
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 +
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 +
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
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==수학용어번역==
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
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** population 모집단
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** sampling without replacement      비복원표집, 비복원추출
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 +
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 +
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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==관련도서==
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* [http://www.postech.ac.kr/%7Ehyelee/book/Chapter5.pdf http://www.postech.ac.kr/~hyelee/book/Chapter5.pdf]
 +
*  도서내검색
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q175199 Q175199]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'variance'}]

2021년 2월 17일 (수) 06:07 기준 최신판

개요

  • 여론조사 에 응용되는 통계의 기초 개념
  • 크기가 n인 표본평균의 분산은 모분산의 1/n 배가 된다


유한모집단, 비복원추출의 경우

  • 크기가 N인 유한모집단 \(\{x_1,\cdots, x_N\}\)의 모평균이 \(\mu\), 모분산이 \(\sigma^2\) 라 하자. 이는 다음과 같이 주어진다

\[ \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i} \]

\[ \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^2 \]

  • 여론조사는, 모집단의 \(\mu\)와 \(\sigma^2\)를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다.
  • 크기가 n인 표본 \(\{y_1,\cdots,y_n\}\subseteq \{x_1,\cdots, x_N\}\) 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 \(\bar{y}\)과 표본분산 \(s^2\)을 다음과 같이 정의한다 :

\[\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}\] \[s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2\]

  • \(\bar{y}\)와 \(s^2\) 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)를 통하여 표현할 수 있다.
  • 확률변수 \(\bar{y}\)의 경우

\[E(\bar{y})=\mu,\] \[V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})\]

  • 확률변수 \(s^2\)의 경우

\[E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\]


모평균과 모분산의 추정

  • 평균이 \(\mu\)인 모집단에서 n 개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 추출할 때 표본평균 \(\bar{y}\)는 \(\mu\)의 불편추정량이다. 즉\[E(\bar{y})=\mu\] 이 성립한다.
  • 평균이 \(\mu\), 분산 \(\sigma^2\) 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\)을 추출할 때 표본분산 \(s^2\)은 \(\frac{N}{N-1}\sigma^2\)의 불편추정량이다. 즉\[E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\] 이 성립한다.
  • 모평균 \(\mu\)은 표본평균 \(\bar{y}\) 로 추정할 수 있다
  • 표본평균의 분산 \(V(\bar{y})\)은 표본분산 \(s^2\)를 이용하여 \(\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})\) 로 추정할 수 있다


예

  • 모집단이 \(\{1,2,3,4,5,6\}\) 주어진 경우를 생각하자.
  • 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)은 다음과 같이 주어진다

\[\mu=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}\] \[\sigma^2=\sum_{i=1}^{6}(x_i-\mu)^2 = \frac{35}{12}\]


표본의 크기가 2인 경우

\begin{array}{c|c|c|c} i & \text{sample }i & \bar{y}_i & (\bar{y}_i-\mu)^2 & s_i^2 \\ 1 & \{1,2\} & \frac{3}{2} & 4 & \frac{1}{2} \\ 2 & \{1,3\} & 2 & \frac{9}{4} & 2 \\ 3 & \{1,4\} & \frac{5}{2} & 1 & \frac{9}{2} \\ 4 & \{1,5\} & 3 & \frac{1}{4} & 8 \\ 5 & \{1,6\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{25}{2} \\ 6 & \{2,3\} & \frac{5}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 7 & \{2,4\} & 3 & \frac{1}{4} & 2 \\ 8 & \{2,5\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{9}{2} \\ 9 & \{2,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 8 \\ 10 & \{3,4\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 11 & \{3,5\} & 4 & \frac{1}{4} & 2 \\ 12 & \{3,6\} & \frac{9}{2} & 1 & \frac{9}{2} \\ 13 & \{4,5\} & \frac{9}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 14 & \{4,6\} & 5 & \frac{9}{4} & 2 \\ 15 & \{5,6\} & \frac{11}{2} & 4 & \frac{1}{2} \\ \end{array}

표본평균 \(\bar{y}\)은 \(\left\{\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4,\frac{7}{2},4,\frac{9}{2},\frac{9}{2},5,\frac{11}{2}\right\}\) 을 모집단으로 하며, 이들의 평균 \(E(\bar{y})\)과 분산 \(V(\bar{y})\) 는 다음과 같이 계산된다 \[ E(\bar{y})=\frac{\sum_{i=1}^{15} \bar{y}_i}{15}=\frac{\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}+3+\frac{7}{2}+\frac{5}{2}+3+\frac{7}{2}+4+\frac{7}{2}+4+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+5+\frac{11}{2}}{15}=\frac{7}{2}=\mu \]

\[ V(\bar{y})=\frac{\sum_{i=1}^{15} (\bar{y}_i-\mu)^2}{15}=\frac{4+\frac{9}{4}+1+\frac{1}{4}+0+1+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+1+1+\frac{9}{4}+4}{15}=\frac{7}{6}=\frac{(N-n)}{(N-1)}\frac{\sigma^2}{n} \]

표본분산 \(s^2\)은 \(\left\{\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{25}{2},\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},\frac{1}{2},2,\frac{1}{2}\right\}\) 을 모집단으로 하며, 이들의 평균 \(E(s^2)\)은 다음과 같이 계산된다 \[ E(s^2)=\frac{\sum_{i=1}^{15} s_i^2}{15}=\frac{\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+8+\frac{25}{2}+\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+8+\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+2+\frac{1}{2}}{15}=\frac{7}{2}=\frac{N}{N-1} \sigma ^2 \]


표본의 크기가 3인 경우

\begin{array}{c|c|c|c} i & \text{sample }i & \bar{y}_i & (\bar{y}_i-\mu)^2 & s_i^2 \\ 1 & \{1,2,3\} & 2 & \frac{9}{4} & 1 \\ 2 & \{1,2,4\} & \frac{7}{3} & \frac{49}{36} & \frac{7}{3} \\ 3 & \{1,2,5\} & \frac{8}{3} & \frac{25}{36} & \frac{13}{3} \\ 4 & \{1,2,6\} & 3 & \frac{1}{4} & 7 \\ 5 & \{1,3,4\} & \frac{8}{3} & \frac{25}{36} & \frac{7}{3} \\ 6 & \{1,3,5\} & 3 & \frac{1}{4} & 4 \\ 7 & \{1,3,6\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{19}{3} \\ 8 & \{1,4,5\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{13}{3} \\ 9 & \{1,4,6\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{19}{3} \\ 10 & \{1,5,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 7 \\ 11 & \{2,3,4\} & 3 & \frac{1}{4} & 1 \\ 12 & \{2,3,5\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{7}{3} \\ 13 & \{2,3,6\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{13}{3} \\ 14 & \{2,4,5\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{7}{3} \\ 15 & \{2,4,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 4 \\ 16 & \{2,5,6\} & \frac{13}{3} & \frac{25}{36} & \frac{13}{3} \\ 17 & \{3,4,5\} & 4 & \frac{1}{4} & 1 \\ 18 & \{3,4,6\} & \frac{13}{3} & \frac{25}{36} & \frac{7}{3} \\ 19 & \{3,5,6\} & \frac{14}{3} & \frac{49}{36} & \frac{7}{3} \\ 20 & \{4,5,6\} & 5 & \frac{9}{4} & 1 \\ \end{array}

표본평균 \(\bar{y}\)의 평균 \(E(\bar{y})\)과 분산 \(V(\bar{y})\) 는 다음과 같다 \[ E(\bar{y})=\frac{7}{2}=\mu \]

\[ V(\bar{y})=\frac{7}{12}=\frac{(6-3)}{(6-1)}\frac{\sigma^2}{3} \]

표본분산 \(s^2\)의 평균 \(E(s^2)\)은 다음과 같다 \[ E(s^2)=\frac{7}{2}=\frac{6}{6-1} \sigma ^2 \]




표본평균

표본분산




메모



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  • [{'LEMMA': 'variance'}]
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