"극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | 먼저 몇 개의 부등식을 보자. | |
| − | + | <math>\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math>라 가정하자. | |
| − | (2) <math>|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> | + | (1) <math>|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|x-3|<\delta</math> |
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| + | (2) <math>|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|y-2|<\delta</math> | ||
(3) <math>|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta</math> | (3) <math>|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta</math> | ||
| − | (4) | + | (4) <math>|x-3|<\delta</math> 를 <math>|(x-1)-2|<\delta</math>로 다시 쓰면, <math>2-\delta<|x-1|<2+\delta</math>를 얻는다. |
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| + | <math>\epsilon>0</math> 이 주어졌다고 가정하자. <math>\delta</math>를 <math>\{1,{\epsilon}/2\}</math>의 최소값이라 하자. | ||
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| + | 위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 <math>|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon</math> 이 성립한다. | ||
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| + | 부등식 (4) 에서 <math>|x-1|>2-\delta\geq 1</math> 이므로, <math>\frac{1}{|x-1|}<1</math>이다. | ||
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| + | <math>|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon</math> | ||
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| + | 그러므로, | ||
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| + | <math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math>이 성립한다. ■ | ||
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| + | <h5>예</h5> | ||
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| + | <math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math> 의 증명 | ||
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| + | (증명) | ||
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| + | 먼저 몇 개의 부등식을 보자. | ||
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| + | <math>\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math>라 가정하자. | ||
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| + | (1) <math>|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|x-3|<\delta</math> | ||
| + | |||
| + | (2) <math>|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|y-2|<\delta</math> | ||
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| + | (3) <math>|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta</math> | ||
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| + | (4) <math>|x-3|<\delta</math> 를 <math>|(x-1)-2|<\delta</math>로 다시 쓰면, <math>2-\delta<|x-1|<2+\delta</math>를 얻는다. | ||
| + | |||
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| − | + | <math>\epsilon>0</math> 이 주어졌다고 가정하자. <math>\delta</math>를 <math>\{1,{\epsilon}/2\}</math>의 최소값이라 하자. | |
| − | <math>|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon</math> | + | 위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 <math>|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon</math> 이 성립한다. |
| − | <math>|x-1|>2-\delta\geq 1</math> | + | 부등식 (4) 에서 <math>|x-1|>2-\delta\geq 1</math> 이므로, <math>\frac{1}{|x-1|}<1</math>이다. |
<math>|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon</math> | <math>|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon</math> | ||
| − | + | 그러므로, | |
| − | <math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math>. | + | <math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math>이 성립한다. ■ |
2012년 2월 13일 (월) 10:37 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
예
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\) 의 증명
(증명)
먼저 몇 개의 부등식을 보자.
\(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\)라 가정하자.
(1) \(|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|x-3|<\delta\)
(2) \(|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|y-2|<\delta\)
(3) \(|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta\)
(4) \(|x-3|<\delta\) 를 \(|(x-1)-2|<\delta\)로 다시 쓰면, \(2-\delta<|x-1|<2+\delta\)를 얻는다.
\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta\)를 \(\{1,{\epsilon}/2\}\)의 최소값이라 하자.
위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 \(|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon\) 이 성립한다.
부등식 (4) 에서 \(|x-1|>2-\delta\geq 1\) 이므로, \(\frac{1}{|x-1|}<1\)이다.
\(|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon\)
그러므로,
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\)이 성립한다. ■
예
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\) 의 증명
(증명)
먼저 몇 개의 부등식을 보자.
\(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\)라 가정하자.
(1) \(|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|x-3|<\delta\)
(2) \(|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta\) => \(|y-2|<\delta\)
(3) \(|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta\)
(4) \(|x-3|<\delta\) 를 \(|(x-1)-2|<\delta\)로 다시 쓰면, \(2-\delta<|x-1|<2+\delta\)를 얻는다.
\(\epsilon>0\) 이 주어졌다고 가정하자. \(\delta\)를 \(\{1,{\epsilon}/2\}\)의 최소값이라 하자.
위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 \(|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon\) 이 성립한다.
부등식 (4) 에서 \(|x-1|>2-\delta\geq 1\) 이므로, \(\frac{1}{|x-1|}<1\)이다.
\(|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon\)
그러므로,
\(\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1\)이 성립한다. ■
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
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관련논문
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