"다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2"의 두 판 사이의 차이
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* 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨. | * 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨. | ||
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2009년 6월 27일 (토) 16:24 판
간단한 소개
- 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
| 다면체 | 그림 | 점 V | 선 E | 면 F | V-E+F | 한점에서의 외각 A | 외각의 총합 V × A | |
| 정사면체 | [[|Tetrahedron]] | 4 | 6 | 4 | 4-6+4=2 | \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{3}=\pi\) | \(4\times\pi=4\pi\) | |
| 정육면체 | [[|Hexahedron (cube)]] | 8 | 12 | 6 | 8-12+6=2 | \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) | \(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\) | |
| 정팔면체 | [[|Octahedron]] | 6 | 12 | 8 | 6-12+8=2 | \(2\pi-4 \times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) | ||
| \(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\) | ||||||||
| 정십이면체 | [[|Dodecahedron]] | 20 | 30 | 12 | 20-30+12=2 | \(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) | \(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\) | |
| 정이십면체 | [[|Icosahedron]] | 12 | 30 | 20 | 12-30+20=2 | \(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) | \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\) |
증명
- 먼저 정다면체를 구 위에 그려진 점선면의 배치로 생각하자.
- 그 다음, 꼭지점이나 선분위에 있지 않은, 면 내부의 한점에서 평면으로 사영을 시킨다.
- 그러면 평면상에 아래와 같은 그림을 얻게 되는데, 평면상에 나타난 그림을 통해 V,E,F를 세면 된다.
[/pages/2584866/attachments/1127450 eulerani.gif]
- 여기서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다. 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다. 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 되고, 이 경우 V=V, E=V-1 ,F=1 이 되므로, V-E+F=2 이다.
재미있는 사실
관련된 단원
관련된 다른 주제들
- [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|또다른 오일러의 공식]]
- \(e^{i \pi} +1 = 0\)
- 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
- 가우스-보네 정리
관련도서 및 추천도서
- Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
- David S. Richeson
- 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
관련된 고교수학 또는 대학수학
참고할만한 자료
- 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리
- 피타고라스의 창