"다항식의 판별식(discriminant)"의 두 판 사이의 차이
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| + | * [[교대다항식(alternating polynomial)]] 의 곱이므로 [[대칭군과 대칭다항식|대칭다항식]] 이 되며, [[근과 계수와의 관계]] 를 사용하면, 다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다 | ||
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| − | <math>\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)</math> 의 행렬식을 구하면, [[ | + | <math>\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)</math> 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다. |
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2011년 12월 7일 (수) 17:44 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- n차 다항식의 근을 \(x_1,\cdots, x_n\) 이라 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다
\((\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i))^2\) - 교대다항식(alternating polynomial) 의 곱이므로 대칭다항식 이 되며, 근과 계수와의 관계 를 사용하면, 다항식의 계수로 이를 표현할 수 있다
2차식의 판별식
- 이차식 \(x^2+bx+c\)
- 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 을 생각하자
\(\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1^2+x_2^2 \end{array} \right)\) 의 행렬식을 구하면, 판별식을 얻는다.
근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식 을 이용하면,
이 행렬은 \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -b \\ -b & b^2-2 c \end{array} \right)\) 이며, 행렬식은 \(b^2-4 c\) ㅇㄹ
역사
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사전 형태의 자료
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- http://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html
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