대수적 위상수학

간단한 요약

• 대수적인 언어를 통해 위상적인 공간을 들여다 보는 법을 배움.
• 곡면의 분류 정리, fundamental group, covering space, 호몰로지 등을 공부함
• 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적 불변량을 찾음.

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 기초적인 일반위상수학
  
  • product space
  • quotient space
  • 연결, 컴팩트
• 추상대수학
  
  • 군론
  • 유한생성아벨군의 기본정리

다루는 대상

• 곡면
• Simplicial complex

 

중요한 개념 및 정리

• 오일러의 정리
  
  • V-E+F = 2- 2g
• 곡면의 분류 정리
  
  • 컴팩트 곡면
    
    • 종수와 orientability
  • 경계가 있는 곡면
    
    • 종수,orientability, 경계의 개수
• 호모토피
  
  • 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말하고, 그러한 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.
  •  
• fundamental group
  
  • 곡면 위에 놓여 있는 루프들을 연속적으로 변화시켜서 한 점으로 만들수 있을까?
• 단일연결된 공간(simply connected space)
  
  • 포앵카레의 추측
• covering space
• Hairy ball theorem
• 호몰로지

 

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

• 포앵카레-호프 정리
• 브라우저 부동점 정리
• 레프쉐츠 부동점 정리
•  

 

다른 과목과의 관련성

• 일반위상수학
• 다변수미적분학
  
  • 벡터장
  • 선적분
    
    • 어떤 벡터장의 선적분이 경로에 의존하는가 하지 않는가의 문제와 밀접하게 관련
  • 포앵카레 보조정리
• 미분기하학
  
  • 가우스-보네 정리
• 복소함수론
  
  • Uniformization theorem 과 단일연결된 상수곡률곡면
  • 호모토피
  • 모노드로미
  • covering space

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 대학원 수준의 대수적위상수학
• 벡터번들
• 호몰로지 대수
• Characteristic class
• 리만곡면론
  
  • Branched covering
•  

 

 

 

추천도서 및 보조교재

• Algebraic Topology
  
  • W. Fulton
  • 표준적인 대수적 위상수학 교과서라 할 수는 없으나, 대수적위상수학의 중요한 개념들을 리만곡면론을 비롯한 실전에 적용하는 형태로 배울수 있음.
• Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
  
  • David S. Richeson
  • 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.

참고할만한 자료

• A Note on the Universal Covering Space of a Surface
  
  • G. W. Knutson
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 5 (May, 1971), pp. 505-509
• Covering Spaces of Algebraic Groups
  
  • Andy R. Magid
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 83, No. 8 (Oct., 1976), pp. 614-621
• A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century
  
  • Peter Hilton
  • Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291