"디리클레 L-함수"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 1일 (목) 13:33 판

이 항목의 스프링노트 원문주소==
디리클레 L-함수

개요==
리만제타함수의 일반화

primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 디리클레 캐릭터$\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{}$ 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.
$L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1$

위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 순환군의 표현론과 유한군의 표현론 항목을 참조

예==
리만제타함수$q=1$, $\chi=1$ 인 경우

디리클레 베타함수 $q=4$, $\chi(1)=1$, $\chi(-1)=-1$ 인 경우

이차수체 $K$, $d_K$는 판별식
$d_K$를 나누지 않는 소수 $p$에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시키는 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{}$
다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 $K$를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 데데킨트 제타함수 항목을 참조
$L_{d_K}(s):=L(s, \chi)$

해석적 확장==
후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)를 통한 방법이 있음

리만제타함수의 해석적확장과 같이 멜린변환을 이용할 수 있음

감마함수
$\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}$, $\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}$
$\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}$

$g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(N-1)y^{n-1}$ 으로 두면,
$\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^N}$, $(0<y<1)$

$g(y)$는 $y$와 $1-y$를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 $h(y)$에 대하여 $g(y)=y(1-y)h(y)$로 표현가능
$\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{n-1}})=yk(y)$
여기서 $k(y)$는 $C^{\infty}([0,1])$이고 유계가 됨

디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴
$L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}$

위의 식에서 $l(t)$와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, 감마함수의 해석적확장에서와 마찬가지로, $\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}$는 $s=0,-1,-2,\cdots$에서 단순 pole을 갖게 된다.

따라서 $L(s, \chi)$는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨

함수방정식==
L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의
$\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)$

다음 함수방정식을 만족시킴
$\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)$

위에서 사용된 기호에 대한 설명
$a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}$
$\chi(-1)=-1$ 이면 $a_{\chi}=1$
$\chi(-1)=1$ 이면 $a_{\chi}=0$
$\Gamma(s)$는 감마함수
$\tau(\chi)=\sum_{(j,q)=1}\chi(j)e^{2\pi i j/q}$는 가우스합

디리클레 베타함수의 경우

$q=4$, $\chi(-1)=-1$, $a_{\chi}=1$ 인 경우에 해당

$\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)$

가우스합은 $\tau(\chi)=2i$이므로 함수방정식은 다음과 같음
$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$

$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$

$q=3$, $\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$,  $\chi(-1)=-1$, $a_{\chi}=1$ 인 경우에 해당

$\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)$

가우스합은 $\tau(\chi)=\sqrt{3}i$ 이므로 함수방정식은 다음과 같음
$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$

s=1 에서의 값 $L(1,\chi)$

$s=1$ 에서의 값이 중요한 이유

$\chi\neq 1$ 인 경우에 대해서, 디리클레는 $L(1,\chi)\neq 0 $ 임을 보임으로써 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명하였다

이차수체 $K$의 경우
$L_{d_K}(1)$ 의 값은 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 과 밀접하게 관련되어 있음

일반적으로 $\chi\neq 1$인 primitive 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{}$에 대하여 $L(1,\chi)$의 값은 다음과 같이 주어짐
$L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})$

여기서 $\tau(\chi)$에 대해서는 가우스합 항목 참조
$\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}$
$\tau(\chi)=\tau_1(\chi)$

좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음

$\chi(-1)=-1$ 인 경우
$L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}{\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a) a$

$\chi(-1)=1$ 인 경우
$L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f}})$

$s=0,-1,-2,\cdots$   음의 정수일 때의 값== $n\geq 1$ 이라 하자. 일반적으로 $\chi\neq 1$인 primitive 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{}$에 대하여 $L(1-n,\chi)$의 값은 다음과 같이 주어진다 $L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})$ 여기서 $B_n(x)$ 는 베르누이 다항식($B_0(x)=1$, $B_1(x)=x-1/2$, $B_2(x)=x^2-x+1/6$, $\cdots$)
정수에서의 리만제타함수의 값과 비교

$\zeta(1-n)=-\frac{B_{n}}{n}, n \ge 1$

이차잉여 준동형사상에 대한 $L(1,\chi)$== 이차수체 $K$, $d_K$는 판별식 $d_K$를 나누지 않는 소수 $p$에 대하여 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$ 은 다음 조건에 의해 유일하게 결정됨 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ $q \geq 2$ 는 소수라 가정하자. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$, $q \geq 3$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우 $d_K=-q$ $\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$ $\chi(-1)=-1$, $\tau(\chi)=i\sqrt{q}$ $L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a$ $K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ , $q \geq 5$, $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우 $d_K=q$ $\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$ $\chi(-1)=1$, $\tau(\chi)=\sqrt{q}$ $L(1,\chi)=-\frac{\sqrt{q}}{q}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})$ $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 1$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우 $d_K=-4q$ $\chi(-1)=-1$, $\tau(\chi)=2i\sqrt{q}$ 소수 $p \neq 2 , q$에 대하여 $p \equiv 1 \pmod{4}$이면 $\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$ $p \equiv 3 \pmod{4}$이면 $\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$ 따라서 $\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)$ 일반적인 $n\in \mathbb{Z}$, $(n,4q)=1$ 에 대해서는 $\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)$ $L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right) a$ $K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ , $q \geq 3$, $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우 $d_K=4q$ $\chi(-1)=1$, $\tau(\chi)=2\sqrt{q}$ 소수 $p \neq 2 , q$에 대하여 $p \equiv 1 \pmod{4}$이면 $\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$ $p \equiv 3 \pmod{4}$이면 $\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$ 따라서 $\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)$ 일반적인 $n\in \mathbb{Z}$, $(n,4q)=1$ 에 대해서는 $\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)$ $L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})$
$L'(1,\chi)$ 의 값==
복소이차수체 $K$, $d_K$는 판별식
$L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}$
이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

L-함수의 미분
$L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})$
$L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})$

이차잉여에의 응용== 7이상의 소수 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 와  $\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)$ 를 정의하자. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 라 두면, $d_K=-p$이며  $\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)$ 는 $d_K$를 나누지 않는 소수 $p$에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시킨다. $p \equiv 3 \pmod{4}$ 이므로 $\chi(-1)=-1$ $L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}$ 를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터 $L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}$ 을 얻는다. 가우스합은 $\tau (\chi)=i\sqrt p$ 이므로 위의 두 값을 비교하면, $h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}$ 이로부터 소수 $p$에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.
L'(1)의 값과 정적분== $f$가 $f(3)=-1$인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, $p(z)=z-z^3$ $L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}$ $L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}$ $=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx$ 이제 $L'(1)$ 의 값을 구하면 된다. $L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}$ 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 $\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}$  을 사용하면, $L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}$ $L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$ $\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)$ 가 만족시키는 함수방정식 $\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$ 을 사용하자. $L(0)=\frac{1}{2}$ 을 쉽게 얻을 수 있다. 한편 Digamma 함수 의 값 $\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma$에서 $\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)$ 를 활용하여, $L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})$ 를 얻는다. 따라서 $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln({\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})$
적분쇼 항목 참조

역사

수학사연표

메모

L(1/2) 의 값은?

관련된 항목들

후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)

이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

가우스합

수학용어번역==
http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=

대한수학회 수학 학술 용어집

http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=

대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_L-function

http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis

http://en.wikipedia.org/wiki/

http://www.wolframalpha.com/input/?i=

NIST Digital Library of Mathematical Functions

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory

Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

http://dx.doi.org/

관련도서 및 추천도서

Harold Davenport, Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
 * [[디리클레 L-함수]]
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요==
 * 리만제타함수의 일반화
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">예</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">예==
 * [[리만제타함수]]<math>q=1</math>,  <math>\chi=1</math> 인 경우<br>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">해석적 확장</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">해석적 확장==
 * [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]를 통한 방법이 있음<br>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">함수방정식</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">함수방정식==
 *  L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의<br><math>\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)</math><br>
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-==s=1 에서의 값  <math>L(1,\chi)</math></h5>
+==s=1 에서의 값  <math>L(1,\chi)</math>==
 * <math>s=1</math> 에서의 값이 중요한 이유<br>
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>s=0,-1,-2,\cdots</math>   음의 정수일 때의 값</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>s=0,-1,-2,\cdots</math>   음의 정수일 때의 값==
 <math>n\geq 1</math> 이라 하자. 일반적으로 <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 <math>L(1-n,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어진다
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">이차잉여 준동형사상에 대한 <math>L(1,\chi)</math></h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">이차잉여 준동형사상에 대한 <math>L(1,\chi)</math>==
 이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>L'(1,\chi)</math> 의 값</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>L'(1,\chi)</math> 의 값==
 *  복소이차수체 <math>K</math>, <math>d_K</math>는 판별식<br><math>L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}</math><br>[[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 ]]<br>
@@ 211번째 줄: / 211번째 줄: @@
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이차잉여에의 응용</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이차잉여에의 응용==
 이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 와  <math>\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)</math> 를 정의하자.
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">L'(1)의 값과 정적분</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">L'(1)의 값과 정적분==
 <math>f</math>가 <math>f(3)=-1</math>인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, <math>p(z)=z-z^3</math>
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-==역사</h5>
+==역사==
 * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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-==메모</h5>
+==메모==
 * L(1/2) 의 값은?
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-==관련된 항목들</h5>
+==관련된 항목들==
 * [[후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)]]
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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역==
 * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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-==사전 형태의 자료</h5>
+==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
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-==관련논문</h5>
+==관련논문==
 * [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/49/093508/1 Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory]<br>
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-==관련도서 및 추천도서</h5>
+==관련도서 및 추천도서==
 * Harold Davenport, [http://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC Multiplicative Number Theory] (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)

"디리클레 L-함수"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 1일 (목) 13:33 판

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s=1 에서의 값 \(L(1,\chi)\)

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