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<math>K</math>가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 <math>a\in F</math> 가 존재하여, <math>K= F(a)</math>와 <math>a^n\in F</math> 를 만족시킨다.
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<math>K</math>에 정의된 <math>F</math>-선형사상 <math>\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i</math>는 <math>\{\sigma^i\}</math>의 선형독립성에 의하여 0이 아님을 알 수 있고, 따라서 <math>\tau(b)\in K\neq 0 </math> 인 <math>b\in K</math>가 존재한다. 
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<math>a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)</math>  로 정의되는 수가 중요한 역할을 한다.
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  <math>\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a</math>  임을 다음과 같이 보일 수 있다.
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 <math>\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math>
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따라서 <math>[F(a):F]\geq n</math> 임을 알 수 있고, <math>[K:F]=n</math>으로부터 <math>K= F(a)</math>를 얻는다.
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한편이 된다. 따라서 <math>a^n\in F</math>. ■
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2012년 7월 12일 (목) 07:47 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/kummer_eis.pdf

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Resolvent

 

 

가우스 합의 예

\(a=1\)이고 \(\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)\) 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐

\(g_1(\chi) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}\)

 

 

순환 체확장에서의 응용

 

 

(정리)

\(F\)가 primitive n-th root of unity \(}\zeta_n\)를 포함한다 하자.(가령 \(F\)가 복소수체를 포함하는 경우)

\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.

 

(증명)

\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

\(K\)에 정의된 \(F\)-선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성에 의하여 0이 아님을 알 수 있고, 따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다. 

\(a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\)  로 정의되는 수가 중요한 역할을 한다.

  \(\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a\)  임을 다음과 같이 보일 수 있다.

 \(\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a\)

따라서 \([F(a):F]\geq n\) 임을 알 수 있고, \([K:F]=n\)으로부터 \(K= F(a)\)를 얻는다.

한편이 된다. 따라서 \(a^n\in F\). ■

 

 

 

 

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