라마누잔의 class invariants

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• 라마누잔의 class invariants
  

 

 

간단한 소개

• 라마누잔이 많은 계산 결과를 남겨놓은 분야
  
• class field theory에서 중요한 역할을 함
  \(G_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}(\sqrt{-n})\)
  \(g_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\)
  
• 베버(Weber) 모듈라 함수 참조
   
  \(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)
  \(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)
  

 

 

필요한 정의

• nome
  \(q=e^{2\pi i \tau}\)
  

• 데데킨트 에타함수
   \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
  
• 베버(Weber) 모듈라 함수
  \(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)
  \(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)
  \(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)
  

 

 

 

special values

\(G_{25}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)

\(g_{10}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)

\(g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}\)

 

 

class invariants의 계산

• 크로네커 극한 공식의 이용
  

 

(정리)

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와  \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여,

\(\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}\)이 성립한다.

여기서 

\(\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

 

 

• \(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 정리를 적용하면, 
  \(\tau=i\sqrt\frac[[:틀:2c]]{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\)
  \(\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\)
  
• 여기서 
  \(g_n=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\)
  위의 경우는\(\tau=i\sqrt{n}=i\sqrt{\frac{2c}{a}}\) 인 경우
  

 

 

\(g_{58}\)의 계산

• \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-58})\), \(C_K\) : class group
  \(d_K=\Delta=b^2-4ac=-240\)인 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)은 다음 두 개의 class를 가짐
  \(Q_1(x,y)=x^2+58y^2\), \(Q_2(x,y)=2x^2+29y^2\)
  

 

• 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음
  \(L(s, \chi) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\)
  
• 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있는데, \(d_K=d_1d_2\), \(d_1=29,d_2=-8\) 로 두면, 다음을 얻는다
  \(\chi(Q_1)=\left(\frac{29}{x^2+58y^2} \right)=\left(\frac{29}{59} \right)=1\)
  \(\chi(Q_2)=\left(\frac{29}{2x^2+29y^2} \right)=\left(\frac{29}{31} \right)=-1\)
  
• 위에서 얻은 정리를 이용(\(m=58\), \(a=1\), \(c=29\) 인 경우)하면 다음을 얻는다
  \(L(s, \chi) =\chi(Q_1)}\zeta_K(s,Q_1)+\chi(Q_2)}\zeta_K(s,Q_2)\)
  \(\zeta_K(s,Q_1)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_1}(s)\), \(\zeta_K(s,Q_2)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_2}(s)\) 이므로
  \(L(1, \chi) =\frac{1}{2}\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s)=\frac{2\pi}{\sqrt{58}}\ln g_{58}\)
  
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식에 의하여 다음을 얻는다
  \(L_{d_1}(1)=\frac{2 h_1 \ln \epsilon}{\sqrt{d_1}}= \frac{2\ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{29}}\)
  \(L_{d_2}(1)=\frac{2\pi h_2}{w_2 \cdot \sqrt{|d_2|}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\)
  판별식이 작은 경우의 이차형식 목록과 실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목을 참조
  

 

• 데데킨트 제타함수에서 얻은 결과 \(L(s, \chi) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\) 를 이용하면 다음을 얻는다
  \(L(1, \chi) =L_{d_1}(1)L_{d_2}(1)=\frac{\pi \ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{58}}\)
  
• 위의 \(L(1, \chi)\) 에 대한 두 표현을 비교하여 다음을 얻는다
  \(g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}\)
  

 

 

오일러의 convenient 수

• 다음 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 에 대해서는  \(g_{58}\)을 구하는 것과 똑같은 방법을 적용하여 \(g_{n}\) 을 계산할 수 있음
• n=10,{x^2+10 y^2,2 x^2+5 y^2}
• n=18,{x^2+18 y^2,2 x^2+9 y^2}
• n=22,{x^2+22 y^2,2 x^2+11 y^2}
• n=28,{x^2+28 y^2,4 x^2+7 y^2}
• n=30,{x^2+30 y^2,2 x^2+15 y^2,3 x^2+10 y^2,5 x^2+6 y^2}
• n=42,{x^2+42 y^2,2 x^2+21 y^2,3 x^2+14 y^2,6 x^2+7 y^2}
• n=58,{x^2+58 y^2,2 x^2+29 y^2}
• n=60,{x^2+60 y^2,3 x^2+20 y^2,4 x^2+15 y^2,5 x^2+12 y^2}
• n=70,{x^2+70 y^2,2 x^2+35 y^2,5 x^2+14 y^2,7 x^2+10 y^2}
• n=78,{x^2+78 y^2,2 x^2+39 y^2,3 x^2+26 y^2,6 x^2+13 y^2}
• n=102,{x^2+102 y^2,2 x^2+51 y^2,3 x^2+34 y^2,6 x^2+17 y^2}
• n=130,{x^2+130 y^2,2 x^2+65 y^2,5 x^2+26 y^2,10 x^2+13 y^2}
• n=190{x^2+190 y^2,2 x^2+95 y^2,5 x^2+38 y^2,10 x^2+19 y^2}
• n=210{x^2+210 y^2,2 x^2+105 y^2,3 x^2+70 y^2,5 x^2+42 y^2,6 x^2+35 y^2,7 x^2+30 y^2,10 x^2+21 y^2,14 x^2+15 y^2}

 

 

 

메모

• http://scholar.google.com/scholar?q=ramanujan%27s+class+invariants&hl=ko&lr=&start=10&sa=N

\(G_n:=(2kk')^{-1/12}=2^{-1/4}f(\sqrt{-n})\)

\(g_n:=(\frac{k'(\sqrt{-n})^2}{2k(\sqrt{-n})})^{1/12}=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})\)

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQjRLV0hLODR3WjA/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

관련된 항목들

• 오일러의 convenient number ( Idoneal number)
• 라마누잔과 파이
• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식
• Chowla-셀베르그 공식

 

 

 

관련도서

• Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks: V

 

 

관련논문과 에세이

• Ramanujan's Most Singular Modulus
  
  • Mark B. Villarino, Arxiv, 2003-8

• Ramanujan and the modular j-invariant
  
  • BC Berndt, HH Chan, Canadian Mathematical Bulletin, 1999

• RAMANUJAN–WEBER CLASS INVARIANT Gn AND WATSON'S EMPIRICAL PROCESS
  
  • Heng Huat Chan, Journal of the London Mathematical Society, 1998
• Ramanujan's Class Invariants With Applications To The Values Of q-Continued Fractions And Theta-Functions
  
  • Bruce C. Berndt ,  Heng Huat Chan ,  Liang-Cheng Zhang, 1997

• Ramanujan's class invariants, Kronecker's limit formula, and modular equations
  
  • Bruce C. Berndt ,  Heng Huat Chan ,  Liang-Cheng Zhang Transactions of the American Mathematical Society, 1997
• Ramanujan’s class invariants and cubic continued fraction
  
  • Bruce C. Berndt ,  Heng Huat Chan ,  Liang-Cheng Zhang, ACTA ARITHMETICA LXXIII.1 (1995)

• Some singular moduli (II)
• G.N. Watson, Q J Math 1932 os-3: 189-212

• Some singular moduli (I)
  
  • G.N. Watson