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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요== |
* 유클리드 공간에 정의된 미분연산자 | * 유클리드 공간에 정의된 미분연산자 | ||
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* 라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨<br><math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math><br> | * 라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨<br><math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math><br> | ||
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* [[구면좌표계]]<br><math>\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math><br> | * [[구면좌표계]]<br><math>\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}</math><br> | ||
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* 민코프스키 메트릭과 달랑베르시안 | * 민코프스키 메트릭과 달랑베르시안 | ||
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| − | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스 | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== |
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxOWNhYWIxNmEtN2VlMC00N2ZkLThlMzMtODgzZjg5ODIxMmI5&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxOWNhYWIxNmEtN2VlMC00N2ZkLThlMzMtODgzZjg5ODIxMmI5&sort=name&layout=list&num=50 | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4_%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%90 http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자] | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:33 판
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개요==
- 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
- 더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)
- 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 드람 코호몰로지 이론에서 중요한 역할을 함
2차원 유클리드 공간
- 라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨
\(\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
리만다양체의 메트릭 텐서를 이용한 표현
- 리만다양체의 메트릭 텐서가 \(g_{ij}\)로 주어지는 경우
- \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
- 라플라시안
\(\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\)
- 곡면의 경우 \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
- \(F=0\)인 경우
\(\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\)
극좌표계의 경우
- 극좌표계
- \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)
\(\sqrt{EG}=r\)
\(\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\)
구면 라플라시안
- 구면(sphere)
- \(E=r^2\sin^2\theta\), \(F=0\), \(G=r^2\)
\(\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})\)
3차원 구면좌표계의 경우
- 구면좌표계
\(\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}\)
역사
메모
- 민코프스키 메트릭과 달랑베르시안
- invariant differential operator http://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_differential_operator
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxOWNhYWIxNmEtN2VlMC00N2ZkLThlMzMtODgzZjg5ODIxMmI5&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
- http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
- 더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)
- 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 드람 코호몰로지 이론에서 중요한 역할을 함
\(\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
\(\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\)
\(\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\)
\(\sqrt{EG}=r\)
\(\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\)
\(\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})\)
\(\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}\)
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/라플라스_연산자
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
- http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
- NIST Digital Library of Mathematical Functions