"락스 쌍 (Lax pair)"의 두 판 사이의 차이
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* Sturm-Liouville operator<br> | * Sturm-Liouville operator<br> | ||
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2012년 6월 20일 (수) 03:38 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
- spectral parameter
기호
- 위치 변수 \(q=(q_1,\cdots,q_N)\)
- 운동량 변수 \(p=(p_1,\cdots,p_N)\)
- \(\{q_i,p_i\}=\delta_{ij}\)
- 해밀토니안 \(H(q,p)\)
- 운동방정식
\(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
\(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)
락스 쌍
- 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다
- 변수 q,p에 의존하는 두 \(N\times N\) 행렬 \(L(q,p) \) 와 \(M(q,p)\)이 락스 방정식 \(\dot{L}=\{L,M\}\) 을 만족시키면 이를 락스 쌍이라 한다
- 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다
\(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
\(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\) - 많은 보존량을 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 의 형태로 얻을 수 있다
\(\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0\)
따라서 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 는 보존량이 된다
Lax pairs with spectral parameters
- spectral curve
\(\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\) - 대수 곡선이 된다
- 각 점 \((k,z)\) 에 대한 벡터공간 \(\operatorname{ker}(kI-L(z))=0\) 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
- for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 [1]http://goo.gl/LaawC
- integrals of motion
\(\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \)
isospectral deformation
- L is an isospectral deformation of L(0) if L(t) has the same eigenvalues for all t
- \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
- Record their derivative by a matrix
\(v'(t)=B(t)v(t)\) - Differentiate \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
\(L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)\)
\(L'(t)v(t)+L(t)B(t)v(t)=\lambda B(t)v(t)=B(t)L(t)v(t)\)
\(L'(t)v(t)=[B(t),L(t)]v(t)\)
\(L'(t)=[B(t),L(t)]\) - So B(t) and L(t) are a Lax pair
examples : KdV equation
- \(u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\)
- Sturm-Liouville operator
- \(L=\partial^2+u\)
- \(B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}\)
- equation
\(u_{t}=[B,L]=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\)
사인-고든 방정식
역사
메모
- Does the existence of a Lax pair imply integrability?
- http://iopscience.iop.org/0266-5611/25/12/123007
- Curves and Lax pairs -many examples
관련된 항목들
물리학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 한국물리학회 물리용어
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
-
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_pair
- http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(Hamiltonian)
- http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket
리뷰논문
관련논문
- How to find the Lax pair from the Yang-Baxter equation M. Q. Zhang, 1991
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- 도서내검색
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