"렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분"의 두 판 사이의 차이

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* 극좌표계에서 방정식 <math>r^2=\cos2\theta</math> 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트라 부름.
 
* 극좌표계에서 방정식 <math>r^2=\cos2\theta</math> 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트라 부름.
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* 렘니스케이트의 둘레으길이 <math>L</math>은 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]으로 표현되며 다음과 같은 과정을 통해 얻어짐
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* 렘니스케이트의 둘레의 길이 <math>L</math>은 [[타원적분(통합됨)|타원적분]]으로 표현되며 다음과 같은 과정을 통해 얻어짐
  
 
<math>x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta</math>
 
<math>x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta</math>
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<math>=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta</math>
 
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<math>\cos 2\theta=\cos^2{\phi}</math>
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<math>\cos 2\theta=\cos^2{\phi}</math> 를 이용하여 치환하면,
  
 
<math>d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi</math>
 
<math>d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi</math>
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<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})</math>
 
<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})</math>
  
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Moreover, 
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<math>x=\cos\phi</math> 로 치환하면,
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<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\cdots</math>
 
<math>L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\cdots</math>
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<math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math>
 
<math>2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math>
  
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* <math>\omega=2.62\cdots</math> 를 가우스의 lemniscate 상수라 함
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* <math>\omega=2.62\cdots</math> 를 가우스의 렘니스케이트 상수라 함
  
 
 
 
 
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<h5>원주율과의 비교</h5>
 
<h5>원주율과의 비교</h5>
  
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*  가우스가 계산한 값은 원의 둘레의 길이와 lemniscate의 둘레의 길이의 비율<br><math>\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots</math><br><math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots</math><br>
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*  가우스가 계산한 값은 원의 둘레의 길이와 렘니스케이트의 둘레의 길이의 비율<br><math>\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots</math><br><math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots</math><br>
 
* <math>\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots</math> 가 얻어짐
 
* <math>\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots</math> 가 얻어짐
 
*  한편<math>AGM(a,b)</math> 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.<br><math>a_0=a</math> ,<math>b_0=b</math><br><math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>,  <math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math><br>
 
*  한편<math>AGM(a,b)</math> 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.<br><math>a_0=a</math> ,<math>b_0=b</math><br><math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math>,  <math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math><br>
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<math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})</math>
 
<math>\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})</math>
  
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* [[#|란덴변환(Landen's transformation)]] 에서 얻어진 결과에서 
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* [[란덴변환(Landen's transformation)|랜든변환(Landen's transformation)]] 에서 얻어진 결과에서 
  
 
 <math>K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}</math>
 
 <math>K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}</math>
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*  곡선의 모양이 무한대 기호와 같음<br>
 
*  곡선의 모양이 무한대 기호와 같음<br>
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*   <br>
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*  무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그로인해 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음<br>
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
  
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* lemniscate from the Latin lemniscus meaning "ribbon"
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=lemniscate
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* Latin lemniscus meaning "ribbon"
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=lemniscate
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=lemniscate

2009년 9월 19일 (토) 12:39 판

간단한 소개

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  • 극좌표계에서 방정식 \(r^2=\cos2\theta\) 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트라 부름.
  • 렘니스케이트의 둘레의 길이 \(L\)은 타원적분으로 표현되며 다음과 같은 과정을 통해 얻어짐

\(x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta\)

\(r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)}\)

\(L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{1}{\cos^2 2\theta}}\,d\theta\)

\(=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta\)

\(\cos 2\theta=\cos^2{\phi}\) 를 이용하여 치환하면,

\(d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi\)

\(L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2})\)

\(x=\cos\phi\) 로 치환하면,

\(L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\cdots\)

\(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)

  • \(\omega=2.62\cdots\) 를 가우스의 렘니스케이트 상수라 함

 

원주율과의 비교
  • 가우스가 계산한 값은 원의 둘레의 길이와 렘니스케이트의 둘레의 길이의 비율
    \(\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots\)
    \(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots\)
  • \(\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots\) 가 얻어짐
  • 한편\(AGM(a,b)\) 은 두 수 a, b의 산술기하평균을 말하는 것으로 다음과 같은 점화식의 극한으로 정의됨.
    \(a_0=a\) ,\(b_0=b\)
    \(a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\)
  • 가우스의 계산으로는 \(AGM(1,\sqrt{2})\)

 

 

타원적분을 통한 증명

\(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\)

\(\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})\)

 \(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

  • 두 결과를 이용하면 

\(\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = {\sqrt{2}{M(1,\frac{1}{\sqrt2})}=M(1,{\sqrt2})\)

 

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

 

 

재미있는 사실
  • 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
  • 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그로인해 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음

 

역사
  • 1798~1799년의 시기에 가우스는 이 곡선의 길이와 관련하여 다음과 같은 기록을 일기에 남김. (Pi-unleashed, 99p)

We have gained some very elegant details about the lemniscate, which have exceeded all expectations, and indeed using methods which open up an entirely new field. That the AGM is equal to \(\frac{\pi }{\omega}\) between 1 and \(\sqrt{2}\) we have confirmed up to the 11th decimal digit; if this is proven, then a truly new field of analysis stands before us.

 

 

 

상위 주제

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

 

수학용어번역

 

사전 형태의 자료

 

관련도서 및 추천도서
  • Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
    • M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.

 

관련논문

 


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