"로그 적분(logarithmic integral)"의 두 판 사이의 차이

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*  다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 ([[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 참조)<br> (정리 ) 리우빌, 1835<br><math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면,  (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.<br> (i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다.<br> (ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.<br>
 
*  다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 ([[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 참조)<br> (정리 ) 리우빌, 1835<br><math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면,  (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.<br> (i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다.<br> (ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.<br>
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*  로그적분에의 적용<br><math>\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\log x</math><br> 리우빌의 정리에 의하여, <br><math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족싴<br>  <br>
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*  로그적분에의 적용<br><math>\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\log x</math><br> 리우빌의 정리에 의하여, <br> 미분방정식 <math>\frac{1}{x}=R'(x)+R(x)</math>를 만족시키는 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하지 않음을 보이면 된다. <br> 먼저 유리함수 <math>R(x)</math>는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 <math>p(x), q(x)</math> (<math>q(x)</math>는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식<br>  <math>R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> 로 쓸 수 있다. <br><math>q(x)</math>가 <math>x=z_0</math>에서 복소해를 갖는다고 하고, <math>{\mu}</math>를 그 해의 multiplicity로 두자. <br>  <br>
  
 
 
 
 

2010년 5월 30일 (일) 07:05 판

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개요

\(\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx\)

 

 

로그적분의 초등함수 표현
  • 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 (부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 참조)
    (정리 ) 리우빌, 1835
    \(f(x), g(x)\) 는 유리함수이면,  (단, \(g(x)\) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.
    (i)\(\int f(x)e^{g(x)} \,dx\) 는 초등함수이다.
    (ii) 유리함수 \(R(x)\)가 존재하여 \(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족시킨다.
  • 로그적분에의 적용
    \(\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt\), \(t=\log x\)
    리우빌의 정리에 의하여, 
    미분방정식 \(\frac{1}{x}=R'(x)+R(x)\)를 만족시키는 유리함수 \(R(x)\)가 존재하지 않음을 보이면 된다. 
    먼저 유리함수 \(R(x)\)는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 \(p(x), q(x)\) (\(q(x)\)는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식
     \(R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) 로 쓸 수 있다. 
    \(q(x)\)가 \(x=z_0\)에서 복소해를 갖는다고 하고, \({\mu}\)를 그 해의 multiplicity로 두자. 
     

 

 

 

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