"로바체프스키 함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
  
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*  로바체프스키 함수의 정의<br><math>\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt</math><br>
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*  로바체프스키 함수의 정의<br><math>\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}</math><br>
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*  클라우센 함수<br><math>Cl_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
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*  클라우센 함수<br><math>Cl_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
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*  두 함수의 관계<br><math>Cl_2(\theta)=2\Lambda(2\theta)</math><math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math><br>
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*  두 함수의 관계<br><math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math><br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">dilogarithm과</h5>
  
 
 
 
 

2009년 11월 15일 (일) 06:32 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개
  • 로바체프스키 함수의 정의
    \(\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}\)
  • 클라우센 함수
    \(Cl_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
  • 두 함수의 관계
    \(Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\)
  •  

 

 

성질

\(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가지며, 다음 덧셈공식을 만족시킨다.

\(\Lambda(\theta)=n\sum_{k \pmod n}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

(증명)

\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)

를 얻는다.

\(n=2\) 일때,

\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)

\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,

\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi})+C\)

\(\theta=0\) 이면,

 

\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)

두 식으로부터

\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0})\)을 얻는다.

한편,  \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.

 

 

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