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<math>\Lambda(\theta)</math>는 기함수이고, <math>\pi</math> 를 주기로 가지며, 다음 덧셈공식을 만족시킨다.
 
<math>\Lambda(\theta)</math>는 기함수이고, <math>\pi</math> 를 주기로 가지며, 다음 덧셈공식을 만족시킨다.
  
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<math>\Lambda(n\theta)=n\sum_{k \pmod n}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})</math>
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<math>\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})</math>
  
 
(증명)
 
(증명)
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://mathworld.wolfram.com/ClausensIntegral.html
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]

2009년 11월 18일 (수) 16:31 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개
  • 로바체프스키 함수의 정의
    \(\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}\)
  • 클라우센 함수
    \(Cl_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
  • 두 함수의 관계
    \(Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\)

 

 

dilogarithm 함수와의 관계
  • dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
  • \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
    \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • \(z=e^{2i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때,
    \(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\)

 

\(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때, \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)\)

\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때, \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)

 

 

멱급수 전개

\(0 < \theta <\pi\) 일 때,

\(\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\)

\(B_{2n}\)은 베르누이 수

 

 

성질

\(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가지며, 다음 덧셈공식을 만족시킨다.

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

(증명)

\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)

절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)

를 얻는다.

\(n=2\) 일때,

\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)

\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,

\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi})+C\)

\(\theta=0\) 이면,

 

\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)

두 식으로부터

\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0})\)을 얻는다.

한편,  \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.

\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.

 

 

3차원 쌍곡기하학과의 관계
  • ideal tetrahedron \(T\) with dihedral angles \(\alpha, \beta, \gamma\)
    • \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
    • \(\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)\)
  • 이면각 (dihedral angles) 한 점에서 만나는 세 면이 각각 이루는 각

 

 

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