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* [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/49/093508/1 Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory]<br> | * [http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/49/093508/1 Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory]<br> | ||
** Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311 | ** Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311 | ||
| + | * C.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=MathURL&_method=retrieve&_udi=B6TYH-4FM01DY-1&_mathId=mml206&_user=4420&_cdi=5619&_pii=S0377042705000154&_rdoc=1&_issn=03770427&_acct=C000059607&_version=1&_userid=4420&md5=6b9447739891f5d15aa022b55b859ef5 Cl2(θ)], <em>J. Comput. Appl. Math.</em> '''11''' (1984), pp. 331–342 | ||
* [http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990007-4 On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral]<br> | * [http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427%2884%2990007-4 On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral]<br> | ||
** P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984). | ** P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984). | ||
2010년 7월 17일 (토) 05:25 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 다이로그 함수(dilogarithm )의 변종으로 이해할 수 있다
- 로바체프스키 함수의 정의
\(\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}\)
로바체프스키 함수는 쌍곡기하학의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다 - 클라우센 함수
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
로그 사인 적분 (log sine integrals) 으로 일반화된다 - 두 함수의 관계
\(Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\)
dilogarithm 함수와의 관계
- dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
- \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
\(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속 - \(z=e^{2i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때,
\(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\)
\(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때, \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)\)
\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때, \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)
그래프
- \(\Lambda(\theta)\)는 기함수이고, \(\pi\) 를 주기로 가짐
- \(\theta=\pi/6+n\pi\)일 때 최대값을 가진다
[/pages/4630891/attachments/3093395 lob1.jpg]
[/pages/4630891/attachments/3093397 lob2.jpg]
멱급수 전개
\(0 < \theta <\pi\) 일 때,
\(\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\)
\(B_{2n}\)은 베르누이 수
덧셈공식
\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})\)
(증명)
\(2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})\)
절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,
\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\)
를 얻는다.
\(n=2\) 일때,
\(\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C\)
\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 이면,
\(\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi})+C\)
\(\theta=0\) 이면,
\(\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C\)
두 식으로부터
\(\Lambda(\pi)=\Lambda(0})\)을 얻는다.
한편, \(\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|\) 는 \(\pi\) 를 주기로 가지므로, \(\Lambda(\theta)\) 역시 \(\pi\)를 주기로 갖는 함수가 된다.
\(\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C\) 에서 기함수의 성질을 이용하면, \(C=0\)이 된다.
3차원 쌍곡기하학과의 관계
- 이면각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어진 ideal tetrahedron \(T\)에 대하여, 다음이 성립
- \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
- \(\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)\)
- \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)
- 이면각 (dihedral angles) 한 점에서 만나는 세 면이 각각 이루는 각
special values
- \(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
\(G\)는 카탈란 상수 - http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
재미있는 사실
역사
메모
\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Clausen_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://mathworld.wolfram.com/ClausensIntegral.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- A dilogarithmic integral arising in quantum field theory
- Djurdje Cvijović, J. Math. Phys. 50, 023515 (2009)
- On a three-dimensional symmetric Ising tetrahedron and contributions to the theory of the dilogarithm and Clausen functions
- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 043510 (2008); doi:10.1063/1.2902996
- Evaluation of a ln tan integral arising in quantum field theory
- Mark W. Coffey, J. Math. Phys. 49, 093508 (2008); doi:10.1063/1.2981311
- C.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral Cl2(θ), J. Comput. Appl. Math. 11 (1984), pp. 331–342
- On the Clausen integral Cl2(Θ) and a related integral
- P. J. de Doelder, J. Comput. Appl. Math. 11, 325 (1984).
- Hyperbolic geometry: The first 150 years
- John W. Milnor, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.
- Efficient Calculation of Clausen's Integral
- Van E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 22, No. 104 (Oct., 1968), pp. 883-884
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
관련도서 및 추천도서
- Foundations of hyperbolic manifolds
- John G. Ratcliffe
- Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century.
- Borwein, J. and Bailey, D., Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.
- The Geometry and Topology of Three-Manifolds
- W. Thurston
- Chapter 7 (pdf)
- 도서내검색
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