"루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)"의 두 판 사이의 차이
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개요==
정의==
딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)==
2차원 루트 시스템의 분류==
ADE 의 분류==
(0) G cannot contain affine A_n, D_n, E_n
(1) G is a tree (contains no cycles = affine A_n)
(2) G has \leq 1 branch point (does not contain affine D_5, D_6,D_7, )
(3) branch point has order \leq 3 (affine D_4)
reflection groups==
메모==
관련논문==
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)]]<br> | * [[루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)]]<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요== |
* 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다<br> | * 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">정의 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">정의== |
* E를 [[내적공간|내적]]이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자. | * E를 [[내적공간|내적]]이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자. | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram) | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)== |
* first draw the simple roots as nodes | * first draw the simple roots as nodes | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">2차원 루트 시스템의 분류 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">2차원 루트 시스템의 분류== |
* <math>A_1\times A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>B_2</math>, <math>G_2</math><br> | * <math>A_1\times A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>B_2</math>, <math>G_2</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">ADE 의 분류 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">ADE 의 분류== |
(0) G cannot contain affine A_n, D_n, E_n | (0) G cannot contain affine A_n, D_n, E_n | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">reflection groups | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">reflection groups== |
* B_n, C_n, BC_n -> same reflection group (Z/nZ).S_n<br> | * B_n, C_n, BC_n -> same reflection group (Z/nZ).S_n<br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사== |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모== |
* <math>\bullet - \bullet</math><br> | * <math>\bullet - \bullet</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들== |
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A6%AC%EB%8C%80%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/리대수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A6%AC%EB%8C%80%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/리대수] | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문== |
* [http://www.jstor.org/stable/2324217 Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications] Robert A. Proctor, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 100, No. 10 (Dec., 1993), pp. 937-941 | * [http://www.jstor.org/stable/2324217 Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications] Robert A. Proctor, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 100, No. 10 (Dec., 1993), pp. 937-941 | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:39 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다
- non-zero eigenvalues of Cartan subalgebra
- 리군과 리대수의 분류, 격자의 분류, 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups) 등에서 중요하게 활용
- 딘킨 다이어그램은 루트 시스템을 표현하는 그래프이다
- non-zero eigenvalues of Cartan subalgebra
정의==
- E를 내적이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자.
- 다음 조건을 만족시키는 E의 유한인 부분집합 \(\Phi\)를 루트 시스템이라 한다.
- \(\Phi\)는 E를 스팬(span)하며 \(0 \not \in \Phi\)
- (reduced) \(\alpha \in \Phi\), \(\lambda \alpha \in \Phi \iff \lambda=\pm 1\)
- \(\alpha,\beta \in \Phi\)이면 \(\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi\)
- \(\langle \beta, \alpha \rangle = 2 \frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}\)
- 마지막 조건을 crystallographic 또는 integraliy 조건이라 한다
- a subgroup of \(GL(V)\) is crystallographic if it stabilizes a lattice L in V
- e.g. the Weyl group of a Lie algebra stabilizes the root lattice or the weight lattice
- \(\Phi\)는 E를 스팬(span)하며 \(0 \not \in \Phi\)
- (reduced) \(\alpha \in \Phi\), \(\lambda \alpha \in \Phi \iff \lambda=\pm 1\)
- \(\alpha,\beta \in \Phi\)이면 \(\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi\)
- \(\langle \beta, \alpha \rangle = 2 \frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}\)
딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)==
- first draw the simple roots as nodes
- draw \(4(e_i, e_j)^2\)lines for two roots \(e_i, e_j\)
\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{6}\)
0,1,2,3 lines
\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{6}\)
0,1,2,3 lines
2차원 루트 시스템의 분류==
- \(A_1\times A_1\), \(A_2\), \(B_2\), \(G_2\)
A1 x A1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2Bcos+(4theta)
A2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2B+cos+(6theta)
B2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-+(sqrt2+%2B1)^2+cos+(4theta)
G2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-(sqrt+3+%2B1)^2cos+(6theta)/2
[1]
[/pages/2696052/attachments/2088323 MSP45719773453e5409bcd000043c1iebh17cda58g.gif]
[/pages/2696052/attachments/2088321 MSP402197733f5dbe80g5d000056hb767e4digb412.gif]
[/pages/2696052/attachments/2088319 MSP132719772cfcfe659i75000064ieda8fh9d30h5e.gif]
[/pages/2696052/attachments/2088317 MSP98119772g2ig5gid8he000031i1h30a8gacdi00.gif]
ADE 의 분류==
(0) G cannot contain affine A_n, D_n, E_n
(1) G is a tree (contains no cycles = affine A_n)
(2) G has \leq 1 branch point (does not contain affine D_5, D_6,D_7, )
(3) branch point has order \leq 3 (affine D_4)
What are length of legs of G?
Leg of length 0 -> G=A_n
so assume legs have length \geq 1
(4) Not all legs have length \geq 2 : cannot contain affine E_6
so one leg has length 1
2 legs of length 1 : G is D_n
so can assume 2 other legs have length \geq 2
(5) cannot have 2 legs length \geq 3 because of affine E_7
So G has 1 leg length 1, 1 of length 2, one of length \geq 2
length is \leq 4, as G does not contain affine E_8
So G is E6,E7, E8
일반적인 경우
- how to classify all connected admissible diagrams
- subdiagram is also admissible
- there are at most (n-1) pairs of nodes
- no node has more than 3 lines
- study double lines and triple nodes
- subdiagram is also admissible
- there are at most (n-1) pairs of nodes
- no node has more than 3 lines
- study double lines and triple nodes