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2012년 1월 15일 (일) 18:55 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 전기장에 대한 가우스의 법칙
\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\) - 자기장에 대한 가우스의 법칙
\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) - 패러데이의 법칙
\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\)
- 앙페르-패러데이 법칙
\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)
파동방정식의 유도
- 미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 (다변수미적분학 항목 참조)
\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\) - 전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다
\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\)
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}\) - 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다
\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)
- \(\rho=0, \mathbf{J}=0 \)인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다
\( \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)
미분형식을 통한 표현
역사
관련된 항목들
수학용어번역