"모든 자연수의 곱과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이
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<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math> | <math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math> | ||
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<math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> 라 두자. | <math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> 라 두자. | ||
| − | <math>f(s)=s\zeta(1-s)</math> | + | <math>s=0</math> 주변에서 <math>f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)</math> 이다. |
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| + | <math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)</math> 를 이용. | ||
| − | + | <math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> | |
| − | <math> | + | <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, |
| − | <math> | + | <math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)} </math> |
2009년 7월 4일 (토) 19:42 판
간단한 소개
- \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\)
증명
- 감마함수의 성질
\(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\) - 리만제타함수의 함수방정식
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\) - 을 이용한다.
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)
\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 라 두자.
\(s=0\) 주변에서 \(f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)\) 이다.
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1)^2)\) 를 이용.
\(\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}\)
\(s=0\) 에서의 로그미분값을 계산하면,
\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)} \)