"모든 자연수의 곱과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
9번째 줄: 9번째 줄:
 
<h5>개요</h5>
 
<h5>개요</h5>
  
−
* 모든 자연수의 곱은 물론 발산함.
+
* 모든 자연수의 곱은 물론 발산
−
* 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제.
+
* 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제로 이해할 수 있음
 
* <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> (아래에서 증명함)
 
* <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> (아래에서 증명함)
 
* <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math> , <math>\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}</math>
 
* <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math> , <math>\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}</math>
66번째 줄: 66번째 줄:
  
 
* [[리만제타함수]]<br>
 
* [[리만제타함수]]<br>
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
 
  
 
 
 
 

2010년 11월 6일 (토) 13:56 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 모든 자연수의 곱은 물론 발산
  • 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제로 이해할 수 있음
  • \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) (아래에서 증명함)
  • \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\) , \(\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}\)
  • 여기서 (수학적으로는 말이 안되나 형식적으로)
    \(\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n\)
    \(\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\)
  • 즉 모든 자연수의 곱은 (!?) \(\sqrt{2\pi}\)

 

 

증명에 앞서 알아야 할 사실들
  • 감마함수
  • 리만제타함수의 함수방정식
    \(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)

 

증명

\(\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\)

 

\(f(s)=s\zeta(1-s)\) 라 두자.

 

\(\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}\) 의 \(s=0\) 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다. 

\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)} \)

여기서 \(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)

 

\(\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma\), \(\psi(1) = -\gamma\,\!\), \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)[[감마함수|]]

이에 대해서는 감마함수 의 Digamma 함수 부분 참조.

한편, \(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\) 를 이용하면, \(s=0\) 주변에서 \(f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)\) .

 

 

따라서 다음값을 얻는다.

\(\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi\)

\(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\) 이므로, \(\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}\)

 

상위 주제

 

 

역사

 

관련된 항목들

 

 

관련도서 및 추천도서

 

참고할만한 자료

 

관련기사

 

 

블로그

 

이미지 검색

 

동영상
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=모든_자연수의_곱과_리만제타함수&oldid=9707"