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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
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* [[리만제타함수]] 함수의 -1에서의 값 | * [[리만제타함수]] 함수의 -1에서의 값 | ||
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리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다. | 리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다. | ||
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보조정리 | 보조정리 | ||
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* [[정수에서의 리만제타함수의 값]] | * [[정수에서의 리만제타함수의 값]] | ||
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| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스 | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== |
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEdnNm9Ddy1seUk/edit?pli=1 | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEdnNm9Ddy1seUk/edit?pli=1 | ||
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| − | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트 | + | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== |
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| − | ==블로그 | + | ==블로그== |
* [http://motls.blogspot.com/2007/09/zeta-function-regularization.html Zeta-function regularization] The Reference Frame, 2007-9-18 | * [http://motls.blogspot.com/2007/09/zeta-function-regularization.html Zeta-function regularization] The Reference Frame, 2007-9-18 | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:49 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요
- 리만제타함수 함수의 -1에서의 값
\(\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\)
- 다음과 같은 (물리적?) 해석이 가능
\(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\)
증명
리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다.
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)
\(\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)\)
여기에 \(s=-1\) 을 대입하면, 다음을 얻는다.
\(\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}\). ■
물리학적(?) 증명
보조정리
\(1-2+3 -4 +5-6+\cdots = \frac{1}{4}\)
(증명)
테일러정리에 의하면,
\(x-2 x^2+3 x^3-4 x^4+\cdots = \frac{x}{(1+x)^2}\)
본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.
그러므로,
\(S=1+2+3+4+\cdots\)
\(2S=2+4+6+8+\cdots\)
\(4S=2(2+4+6+8+\cdots)\)
그러므로,
\(1-2+3-4+5-6+\cdots+4S=1+2+3+4+5+6+\cdots = S\)
따라서,
\(-3S=1-2+3-4+5-6+\cdots\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}n=1+2+3+4+\cdots = \frac{-1}{12}\)
조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEdnNm9Ddy1seUk/edit?pli=1
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
리뷰논문, 에세이, 강의노트
블로그
- Zeta-function regularization The Reference Frame, 2007-9-18
테일러정리에 의하면,
그러므로,