"분할의 rank와 crank"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[분할의 rank와 crank]]
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* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)]]에 대한 발견
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* [[분할수가 만족시키는 합동식]]
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:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>:<math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math>:<math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math>
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* 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
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* 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요[[자연수의 분할(partition)과 rank/crank 목록|]]</h5>
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==9의 분할의 경우==
  
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* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]에 대한 발견<br><math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math><br><math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math><br><math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br>
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* 9의 분할에는 30개가 있다
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* 이를 자연스럽게 설명하기 위한 틀로 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
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*  각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다
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* 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전
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** 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
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*  이에 mod 5를 취하면,
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** 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
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* 0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
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* crank에 대해서도 마찬가지 분포를 얻을 수 있다
  
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<h5>rank와 crank</h5>
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==rank와 crank==
  
 
* 분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
 
* 분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
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*  예<br>
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*  예
 
** 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
 
** 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
 
** 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
 
** 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
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*  분할의 crank<br>
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*  분할의 crank
 
** 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
 
** 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
 
** 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
 
** 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
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*  예<br>
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*  예
 
** 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
 
** 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
 
** 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
 
** 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
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*  9의 분할수 = 30<br>
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*  9의 분할수 = 30
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**  분할<br> {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5,   4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}<br>
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**  분할 {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5,   4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
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**  rank<br> {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8}<br> 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다<br>
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**  rank {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
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**  crank<br> {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9}<br> 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다<br>
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**  crank {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
 
* [[자연수의 분할(partition)과 rank/crank 목록|자연수의 분할(partition)과 rank 목록]]
 
* [[자연수의 분할(partition)과 rank/crank 목록|자연수의 분할(partition)과 rank 목록]]
  
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<h5>crank</h5>
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==crank==
  
 
* vector partition
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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<h5>역사</h5>
 
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==역사==
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* 1944 프리먼 다이슨의 추측
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* 1954 애킨(Atkin)-스위너톤-다이어 : 다이슨 추측은 참이다
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
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<h5>메모</h5>
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==메모==
  
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==관련된 항목들==
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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==수학용어번역==
  
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_of_a_partition
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
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==관련논문==
  
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* [http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0493-5 The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks]
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** Kathrin Bringmann and Ken Ono, Inventiones Mathematicae Volume 165, Number 2, 2006
−
<h5>관련논문</h5>
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* [http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0507844102 Ramanujan's congruences and Dyson's crank]
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* [http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0507844102 Ramanujan's congruences and Dyson's crank]<br>
 
 
** George E. Andrews and Ken Ono, PNAS October 25, 2005 vol. 102 no. 43 15277
 
** George E. Andrews and Ken Ono, PNAS October 25, 2005 vol. 102 no. 43 15277
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* <br>
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* [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183554533 Dyson's crank of a partition]
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** Andrews, G.E. and Garvan, F.G., Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). v18. 167-171
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** George E. Andrews and F. G. Garvan, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 18, Number 2 (1988), 167-171
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* Dyson, F.: Some guesses in the theory of partitions. Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944
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* Some guesses in the theory of partitions
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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** Dyson, F., Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944)
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* http://www.ams.org/mathscinet
 
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* http://dx.doi.org/
 
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<h5>관련도서</h5>
 
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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<h5>관련기사</h5>
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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==메타데이터==
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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===위키데이터===
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q7293214 Q7293214]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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===Spacy 패턴 목록===
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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* [{'LOWER': 'rank'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'a'}, {'LEMMA': 'partition'}]
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* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]
 

2021년 2월 17일 (수) 04:45 기준 최신판

개요

\[p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\]\[p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\]\[p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\]

  • 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
  • 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전



9의 분할의 경우

  • 9의 분할에는 30개가 있다
  • 각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다
    • 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
  • 이에 mod 5를 취하면,
    • 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
  • 0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
  • crank에 대해서도 마찬가지 분포를 얻을 수 있다



rank와 crank

  • 분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
  • 예
    • 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
    • 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
  • 분할의 crank
    • 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
    • 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
  • 예
    • 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
    • 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
  • 9의 분할수 = 30
    • 분할 {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5, 4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
    • rank {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
    • crank {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
  • 자연수의 분할(partition)과 rank 목록



crank

  • vector partition



역사



메모

관련된 항목들

수학용어번역



사전 형태의 자료


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'rank'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'a'}, {'LEMMA': 'partition'}]
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