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| + | * 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 <math>z\in\mathbb{C}</math>에 대하여 다음과 같이 정의함 | ||
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| + | * 대수적 K-이론에서 수체의 <math>K_3</math> 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨 | ||
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| + | :<math>D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0</math> | ||
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| + | :<math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math> | ||
| + | :<math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math> | ||
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| + | * [[폴리로그 함수(polylogarithm)]] | ||
| + | * [[로바체프스키 함수]] | ||
| + | * [[클라우센 함수(Clausen function)]] | ||
| + | * [[데데킨트 제타함수]] | ||
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| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
| + | * Mirzaii, Behrooz, and Fatemeh Y. Mokari. “Bloch-Wigner Theorem over Rings with Many Units II.” arXiv:1108.5452 [math], August 27, 2011. http://arxiv.org/abs/1108.5452. | ||
| + | * The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, Math-Annalen, pages 612-624, 1990. http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591 | ||
| + | * Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields | ||
| − | + | ==관련도서== | |
| − | + | * Spencer Bloch, [http://books.google.com/books/about/Higher_Regulators_Algebraic_K_Theory_and.html?id=D7BDMNbxM1IC Higher Regulators, Algebraic K-Theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves] | |
| − | + | * Serge Lang, Complex Analysis, Chapter XI. Section 2 | |
| − | + | [[분류:다이로그]] | |
| − | + | [[분류:쌍곡기하학]] | |
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2020년 11월 12일 (목) 01:56 기준 최신판
개요
\[\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt,\quad z\in \mathbb C-[1,\infty)\]
- 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 \(z\in\mathbb{C}\)에 대하여 다음과 같이 정의함
\[D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)\]
- 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
- 복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic
- 대수적 K-이론에서 수체의 \(K_3\) 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨
- 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 로바체프스키 함수와 클라우센 함수(Clausen function) 항목 참조
그래프와 등고선
- 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
1.gif)
- 다음과 같은 등고선을 얻는다
2.gif)
항등식
- 여러 함수 항등식을 만족함
\[D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\]
- \[D(\bar{z})=-D(z)\]
- 다이로그 함수(dilogarithm)가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함
5항 관계식
- 5항 관계식 (5-term relation)
- 가장 중요한 항등식
\[D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\]
\[\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\]
클라우센 함수와의 관계
- \(z=e^{i\theta}\) 일 때, \(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)\) 의 값은 클라우센 함수(Clausen function) 로 표현
\[\operatorname{Cl}_ 2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]
데데킨트 제타함수와의 관계
- 데데킨트 제타함수\(s=2\) 에서의 값을 표현하는데 나타남
- 복소이차수체의 데데킨트 제타함수 의 경우
\[\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\] \[\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\]
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Mirzaii, Behrooz, and Fatemeh Y. Mokari. “Bloch-Wigner Theorem over Rings with Many Units II.” arXiv:1108.5452 [math], August 27, 2011. http://arxiv.org/abs/1108.5452.
- The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, Math-Annalen, pages 612-624, 1990. http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591
- Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields
관련도서
- Spencer Bloch, Higher Regulators, Algebraic K-Theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves
- Serge Lang, Complex Analysis, Chapter XI. Section 2