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==개요==
  
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* 사각격자를 도미노로 덮는 문제
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* planar bipartite graph 의 perfect matching 문제로 생각할 수 있다
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* 그래프의 적당한 weighted adjacency matrix 와 그 [[파피안(Pfaffian)]] 을 통해 답을 표현할 수 있다
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* 통계물리에서는 dimer configuration = covering of a graph by pairs of fermions connected by an edge
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*  다음 두 가지 경우가 존재
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*  다음 행렬의 [[파피안(Pfaffian)]] 을 구해서 경우의 수를 얻을 수 있다:<math>\left( \begin{array}{cccc}  0 & 1 & 1 & 0 \\  -1 & 0 & 0 & -1 \\  -1 & 0 & 0 & 1 \\  0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)</math>
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* 행렬 <math>\left( \begin{array}{cccc}  0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 \\  -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} \\  -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} \\  0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)</math>
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의 파피안은 <math>t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}</math> 으로 주어진다.
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* 파피안의 각 항은 도미노 타일링에 대응된다.
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===3x2 격자===
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*  다음 세 가지 경우가 존재
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*  다음 행렬의 파피안은 3이다:<math>\left( \begin{array}{cccccc}  0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\  0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\  0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)</math>
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* 행렬 <math>\left( \begin{array}{cccccc}  0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 & 0 & 0 \\  -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} & 0 & 0 \\  -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & 0 \\  0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & 0 & -t_{4,6} \\  0 & 0 & -t_{3,5} & 0 & 0 & t_{5,6} \\  0 & 0 & 0 & t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)</math> 의 파피안은 <math>t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}</math> 이다.
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===4x4 격자===
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* 36개의 타일링
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==테이블==
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* <math>m\times n</math> 격자의 도미노 타일링
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\begin{array}{c|cccccccc}
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m \ddots n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
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5 & 0 & 8 & 0 & 95 & 0 & 1183 & 0 & 14824 \\
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6 & 1 & 13 & 41 & 281 & 1183 & 6728 & 31529 & 167089 \\
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7 & 0 & 21 & 0 & 781 & 0 & 31529 & 0 & 1292697 \\
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8 & 1 & 34 & 153 & 2245 & 14824 & 167089 & 1292697 & 12988816 \\
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\end{array}
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==메모==
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* http://www.science.uva.nl/onderwijs/thesis/centraal/files/f887198315.pdf
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* [http://www.math.oregonstate.edu/%7Emath_reu/REU_Proceedings/Proceedings1991/Klarreich91.pdf http://www.math.oregonstate.edu/~math_reu/REU_Proceedings/Proceedings1991/Klarreich91.pdf]
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==관련된 항목들==
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* [[파피안(Pfaffian)]]
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==수학용어번역==
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* Borcherds [http://math.berkeley.edu/%7Ereb/courses/261/26.pdf Lecture 26 Pfaffians and dominoes]
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* Propp, James. “Dimers and Dominoes.” arXiv:1405.2615 [math], May 11, 2014. http://arxiv.org/abs/1405.2615.
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==관련논문==
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* Allegra, Nicolas. “<math>2d</math> Dimer Model, Correlation Functions and Combinatorics.” arXiv:1410.4131 [cond-Mat, Physics:math-Ph], October 15, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4131.
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* Florescu, Laura, Daniela Morar, David Perkinson, Nick Salter, and Tianyuan Xu. “Sandpiles and Dominos.” arXiv:1406.0100 [math], May 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1406.0100.
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[[분류:통계물리]]
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[[분류:조합수학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q21042776 Q21042776]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'domino'}, {'LEMMA': 'tiling'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:46 기준 최신판

개요

  • 사각격자를 도미노로 덮는 문제
  • planar bipartite graph 의 perfect matching 문제로 생각할 수 있다
  • 그래프의 적당한 weighted adjacency matrix 와 그 파피안(Pfaffian) 을 통해 답을 표현할 수 있다
  • 통계물리에서는 dimer configuration = covering of a graph by pairs of fermions connected by an edge


예

2x2 격자

  • 다음 두 가지 경우가 존재

사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem)1.png

  • 다음 행렬의 파피안(Pfaffian) 을 구해서 경우의 수를 얻을 수 있다\[\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)\]
  • 행렬 \(\left( \begin{array}{cccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 \\ -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} \\ -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} \\ 0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 \end{array} \right)\)

의 파피안은 \(t_{1,3} t_{2,4}+t_{1,2} t_{3,4}\) 으로 주어진다.

  • 파피안의 각 항은 도미노 타일링에 대응된다.

3x2 격자

  • 다음 세 가지 경우가 존재

사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem)2.png

  • 다음 행렬의 파피안은 3이다\[\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right)\]
  • 행렬 \(\left( \begin{array}{cccccc} 0 & t_{1,2} & t_{1,3} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{1,2} & 0 & 0 & -t_{2,4} & 0 & 0 \\ -t_{1,3} & 0 & 0 & t_{3,4} & t_{3,5} & 0 \\ 0 & t_{2,4} & -t_{3,4} & 0 & 0 & -t_{4,6} \\ 0 & 0 & -t_{3,5} & 0 & 0 & t_{5,6} \\ 0 & 0 & 0 & t_{4,6} & -t_{5,6} & 0 \end{array} \right)\) 의 파피안은 \(t_{1,2} t_{3,5} t_{4,6}+t_{1,3} t_{2,4} t_{5,6}+t_{1,2} t_{3,4} t_{5,6}\) 이다.


4x4 격자

  • 36개의 타일링

사각격자의 도미노 타일링 (dimer problem)3.png


테이블

  • \(m\times n\) 격자의 도미노 타일링

\begin{array}{c|cccccccc} m \ddots n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 \\ 3 & 0 & 3 & 0 & 11 & 0 & 41 & 0 & 153 \\ 4 & 1 & 5 & 11 & 36 & 95 & 281 & 781 & 2245 \\ 5 & 0 & 8 & 0 & 95 & 0 & 1183 & 0 & 14824 \\ 6 & 1 & 13 & 41 & 281 & 1183 & 6728 & 31529 & 167089 \\ 7 & 0 & 21 & 0 & 781 & 0 & 31529 & 0 & 1292697 \\ 8 & 1 & 34 & 153 & 2245 & 14824 & 167089 & 1292697 & 12988816 \\ \end{array}

메모


관련된 항목들



수학용어번역

사전 형태의 자료


리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Allegra, Nicolas. “\(2d\) Dimer Model, Correlation Functions and Combinatorics.” arXiv:1410.4131 [cond-Mat, Physics:math-Ph], October 15, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.4131.
  • Florescu, Laura, Daniela Morar, David Perkinson, Nick Salter, and Tianyuan Xu. “Sandpiles and Dominos.” arXiv:1406.0100 [math], May 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1406.0100.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'domino'}, {'LEMMA': 'tiling'}]
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