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==두 수의 산술기하조화평균==
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* 기하평균 : 직사각형의 두 변이 a, b 일 때 같은 면적을 가지는 정사각형의 한 변
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* 조화평균 : 일정한 거리를 갈 때 a, 올 때 b의 속력으로 왕복할때 평균속도
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==일반적인 정의==
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* <math>x_1,\cdots,x_n</math>이 양수라 하자
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* 산술평균
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* 기하평균
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:<math>G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}</math>
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* 조화평균
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==산술-기하-조화평균 부등식==
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* 다음이 성립한다
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:<math>A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)</math>
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==n=2인 경우==
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<math>A=\frac{a+b}{2}</math>
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<math>G=\sqrt{ab}</math>
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<math>H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>
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* [[피타고라스의 정리]]
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==관련된 항목들==
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* [[조화평균]]
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|AGM과 파이값의 계산]]
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* [[수학사 연표]]
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* 박부성, [http://navercast.naver.com/science/math/642 평균도 다양하다!], 네이버 오늘의 과학, 2009-6-23
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[[분류:부등식]]

2020년 12월 28일 (월) 03:28 기준 최신판

개요

두 수의 산술기하조화평균

  • 기하평균 : 직사각형의 두 변이 a, b 일 때 같은 면적을 가지는 정사각형의 한 변
  • 조화평균 : 일정한 거리를 갈 때 a, 올 때 b의 속력으로 왕복할때 평균속도


일반적인 정의

  • \(x_1,\cdots,x_n\)이 양수라 하자
  • 산술평균

\[A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)\]

  • 기하평균

\[G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}\]

  • 조화평균

\[H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \]


산술-기하-조화평균 부등식

  • 다음이 성립한다

\[A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)\]


n=2인 경우

\(A=\frac{a+b}{2}\)

\(G=\sqrt{ab}\)

\(H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)


관련된 항목들


리뷰, 에세이, 강의노트

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