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==유클리드의 증명==
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(정리) 소수는 무한히 많다
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(증명)
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소수의 개수가 유한하다고 가정하고, <math>p_1, p_2, \cdots ,p_r</math> 가 모든 소수의 목록이라 하자.
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자연수 <math>N=p_1p_2\cdots p_r+1</math> 을 정의하자.
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<math>N</math>은 각 소수 <math>p_i</math>로 나누어 나머지가 1이므로, 1과 자신 이외의 약수를 가지지 않는다. 따라서 <math>N</math>은 소수이다.
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한편 N은 <math>p_1, p_2, \cdots ,p_r</math>와 같지 않으므로, 기존의 목록에 있지 않은 새로운 소수가 된다. 모순. ■
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==오일러의 해석학적 증명==
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* [[소수와 리만제타함수]]
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<math>\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}=  \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots</math>
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<math>\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>
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<math>\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}  =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})</math>
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<math>\log(1+x) \approx x</math>
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<math>\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}</math>
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<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math>
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* 다음이 성립한다
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:<math>\sum_{p\le N} \frac{1}{p}\sim \log\log N</math>
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==기타 여러 가지 증명들==
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* http://wiessen.tistory.com/291
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==관련된 항목들==
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* [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
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* [[루트2는 무리수이다]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZnpTZmxZazVwdWM/edit
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[[분류:소수]]

2020년 12월 28일 (월) 02:32 기준 최신판

개요

유클리드의 증명

(정리) 소수는 무한히 많다

(증명)

소수의 개수가 유한하다고 가정하고, \(p_1, p_2, \cdots ,p_r\) 가 모든 소수의 목록이라 하자.

자연수 \(N=p_1p_2\cdots p_r+1\) 을 정의하자.

\(N\)은 각 소수 \(p_i\)로 나누어 나머지가 1이므로, 1과 자신 이외의 약수를 가지지 않는다. 따라서 \(N\)은 소수이다.

한편 N은 \(p_1, p_2, \cdots ,p_r\)와 같지 않으므로, 기존의 목록에 있지 않은 새로운 소수가 된다. 모순. ■



오일러의 해석학적 증명

\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots\)

\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)

\(\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\)

\(\log(1+x) \approx x\)

\(\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}\)

\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)


  • 다음이 성립한다

\[\sum_{p\le N} \frac{1}{p}\sim \log\log N\]


기타 여러 가지 증명들


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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