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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소==
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==개요==
  
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* [[순환 체확장(cyclic extension)]]<br>
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* 체<math>F</math>와 그 갈루아체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름
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*  쿰머의 이론에 의하여 일반화된다
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요==
 
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* 체<math>F</math>와 그 갈루아체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름<br>
 
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*  쿰머의 이론에 의하여 일반화된다<br>
 
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(정리)
 
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<math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>}\zeta_n</math>를 포함한다 하자.(가령 <math>F</math>가 복소수체를 포함하는 경우)
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<math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>\zeta_n</math>를 포함한다 하자.(가령 <math>F</math>가 복소수체를 포함하는 경우)
  
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<math>K</math>가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 <math>a\in F</math> 가 존재하여, <math>K= F(a)</math>와 <math>a^n\in F</math> 를 만족시킨다.
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<math>K</math>가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 <math>a\in F</math> 가 존재하여, <math>K= F(a)</math>와 <math>a^n\in F</math> 를 만족시킨다.
  
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(증명)
 
(증명)
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힐버트 정리 90... 또는
 
힐버트 정리 90... 또는
  
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<math>\text{Gal}(K/F)</math> 가 <math>\sigma</math>에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.
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<math>\text{Gal}(K/F)</math> 가 <math>\sigma</math>에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.
  
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<math>K</math>에 정의된 <math>F</math>-선형사상 <math>\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i</math>는 <math>\{\sigma^i\}</math>의 선형독립성([[데데킨트 보조정리]])에 의하여,  0이 아니다.
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<math>K</math>에 정의된 <math>F</math>-선형사상 <math>\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i</math>는 <math>\{\sigma^i\}</math>의 선형독립성([[데데킨트 보조정리]])에 의하여, 0이 아니다.
  
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따라서 <math>\tau(b)\in K\neq 0 </math> 인 <math>b\in K</math>가 존재한다. 
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따라서 <math>\tau(b)\in K\neq 0 </math> 인 <math>b\in K</math>가 존재한다.  
  
 
<math>a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)</math>로 두면, ([[라그랑지 resolvent|Lagrange resolvents]])
 
<math>a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)</math>로 두면, ([[라그랑지 resolvent|Lagrange resolvents]])
  
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 <math>\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math>
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<math>\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a</math>
  
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따라서 <math>[F(a):F]\geq n</math> 임을 알 수 있고, <math>[K:F]=n</math>으로부터 <math>K= F(a)</math>를 얻는다.
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따라서 <math>[F(a):F]\geq n</math> 임을 알 수 있고, <math>[K:F]=n</math>으로부터 <math>K= F(a)</math>를 얻는다.
  
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한편  <math>\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a</math> 이므로, <math>\sigma(a^n)=}a^n</math>이 된다. 따라서 <math>a^n\in F</math>. ■
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한편  <math>\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a</math> 이므로, <math>\sigma(a^n)=a^n</math>이 된다. 따라서 <math>a^n\in F</math>. ■
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">쿰머 이론==
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==쿰머 이론==
  
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* <math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>}\zeta_n</math>를 포함한다 하자.<br>
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* <math>F</math>가 primitive n-th root of unity <math>\zeta_n</math>를 포함한다 하자.
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* <math>F^{\times}/(F^{\times})^n</math> 의 부분군과 exponent가 n인 F의 가환인 갈루아 체확장 사이에는 일대일 대응이 존재한다<br>
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* <math>F^{\times}/(F^{\times})^n</math> 의 부분군과 exponent가 n인 F의 가환인 갈루아 체확장 사이에는 일대일 대응이 존재한다
  
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==역사==
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
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==메모==
  
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==관련된 항목들==
  
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* [[가해군(solvable group)]]<br>
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* [[가해군(solvable group)]]
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* [[순환군]]<br>
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* [[순환군]]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역==
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==수학용어번역==
  
 
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료==
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문==
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==관련논문==
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* Mariano Suárez-Álvarez, Cyclic extensions are radical, arXiv:1604.06794 [math.HO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06794, 10.4169/amer.math.monthly.123.2.160, http://dx.doi.org/10.4169/amer.math.monthly.123.2.160, Amer. Math. Monthly, 123 no. 2 (2016) 160
  
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
* http://dx.doi.org/
 
* http://dx.doi.org/
  
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1548483 Q1548483]
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===Spacy 패턴 목록===
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*  도서내검색<br>
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* [{'LOWER': 'kummer'}, {'LEMMA': 'theory'}]
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
 
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 

2021년 2월 17일 (수) 04:49 기준 최신판

개요

  • 체\(F\)와 그 갈루아체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름
  • 쿰머의 이론에 의하여 일반화된다



(정리)

\(F\)가 primitive n-th root of unity \(\zeta_n\)를 포함한다 하자.(가령 \(F\)가 복소수체를 포함하는 경우)

\(K\)가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 \(a\in F\) 가 존재하여, \(K= F(a)\)와 \(a^n\in F\) 를 만족시킨다.


(증명)

힐버트 정리 90... 또는

\(\text{Gal}(K/F)\) 가 \(\sigma\)에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

\(K\)에 정의된 \(F\)-선형사상 \(\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i\)는 \(\{\sigma^i\}\)의 선형독립성(데데킨트 보조정리)에 의하여, 0이 아니다.

따라서 \(\tau(b)\in K\neq 0 \) 인 \(b\in K\)가 존재한다.

\(a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\)로 두면, (Lagrange resolvents) 

\(\sigma(a)=\sigma\left(\tau(b)\right)=\sigma\left(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a\)

따라서 \([F(a):F]\geq n\) 임을 알 수 있고, \([K:F]=n\)으로부터 \(K= F(a)\)를 얻는다.

한편 \(\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a\) 이므로, \(\sigma(a^n)=a^n\)이 된다. 따라서 \(a^n\in F\). ■



쿰머 이론

  • \(F\)가 primitive n-th root of unity \(\zeta_n\)를 포함한다 하자.
  • \(F^{\times}/(F^{\times})^n\) 의 부분군과 exponent가 n인 F의 가환인 갈루아 체확장 사이에는 일대일 대응이 존재한다



역사



메모

관련된 항목들



수학용어번역



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관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'kummer'}, {'LEMMA': 'theory'}]
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