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==개요==
  
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* 수학에서 숫자 12와 24는 매우 흥미로운 수.
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* [[모듈라 군(modular group)]]과 깊게 관련되어 있음.
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==숫자 12==
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* [[모든 자연수의 합과 리만제타함수]]:<math>\zeta(-1)= -\frac{1}{12}</math>:<math>\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  \cdots = -\frac{1}{12}</math>
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*  12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight
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* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)]]
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:<math>\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots</math>
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는 weight 12 cusp form
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* <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}</math>
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*  오비폴드 오일러 표수:<math>\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}</math>
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* [[라마누잔과 1729]]:<math>1729=12^3+1^3=10^3+9^3</math>
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* [[스털링 공식]]:<math>  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n  \left(    1    +{1\over12n}    +{1\over288n^2}    -{139\over51840n^3}    -{571\over2488320n^4}    + \cdots  \right)</math>
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==숫자 24==
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]:<math>E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}</math>
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* 리치(Leech)격자의 차원
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* 돌발성 단순군 M24
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* If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
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* [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
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:<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math>
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* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]:<math>z=q,q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math>:<math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math>:<math>\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})</math>
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*  26=24+2는 보존 끈이론의 차원
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**  24는 transverse dimensions
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** http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595# post2910595
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==메모==
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* Leonor Godinho, Frederik von Heymann, Silvia Sabatini, 12, 24 and Beyond, arXiv:1604.00277[math.CO], April 01 2016, http://arxiv.org/abs/1604.00277v1
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* icosikaitetetrology
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* http://mathoverflow.net/questions/44866/third-stable-homotopy-group-of-spheres-via-geometry
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* 정수계수 2x2 행렬군의 분류
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* Bosonic string theory
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* Fredenhagen, Stefan, Jens Hoppe, and Mariusz Hynek. ‘The Lorentz Anomaly via Operator Product Expansion’. arXiv:1412.6838 [hep-Th], 21 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.6838.
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==관련된 항목들==
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* [[사각 피라미드 퍼즐]]
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* [[모든 자연수의 합과 리만제타함수]]
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* [[리치 격자(Leech lattice)]]
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* [[Lattice polygons]]
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* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]]
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* [[라마누잔(1887- 1920)|라마누잔의 수학]]
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* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|j-invariant]]
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* [[엘러건트 유니버스]]
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==위키링크==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* [http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/ My Favorite Numbers] : [http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/#5 5], [http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/#8 8], and [http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/#24 24]
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** John Baez, [http://www.maths.gla.ac.uk/%7Etl/rankin/ The Rankin Lectures], University of Glasgow, September 15-19, 2008
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* [http://www.jstor.org/stable/2323911 The Square Pyramid Puzzle]
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** W. S. Anglin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
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* [http://math.ucr.edu/home/baez/week125.html This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 125)]
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** John Baez, November 3, 1998
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==관련논문==
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* [http://www.jstor.org/stable/2589316 Lattice Polygons and the Number 12]
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** Bjorn Poonen and Fernando Rodriguez-Villegas, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 107, No. 3 (Mar., 2000), pp. 238-250
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* [http://www.ingentaconnect.com/content/klu/matn/2005/00000077/00000001/00000010 A short proof of the twelve-point theorem]
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** Repovscaron D.; Skopenkov M.; Cencelj M., Mathematical Notes, Volume 77, Number 1, January 2005 , pp. 108-111(4)
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* [http://www.mathcs.emory.edu/%7Ebrussel/Scans/mumfordpicard.pdf Picard Groups of Moduli Problems]
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** David Mumford, Arithmetical Algebraic Geometry, Proceedings of a Conference Held at Purdue University
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==관련기사==
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=24
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=12
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[[분류:에세이]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1834342 Q1834342]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'modular'}, {'LEMMA': 'group'}]
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* [{'LOWER': 'psl(2;ℤ'}, {'LEMMA': ')'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:50 기준 최신판

개요



숫자 12

\[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\] 는 weight 12 cusp form

  • \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
  • 오비폴드 오일러 표수\[\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}\]
  • 라마누잔과 1729\[1729=12^3+1^3=10^3+9^3\]
  • 스털링 공식\[ n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\]



숫자 24

\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\]

  • 분할수의 생성함수(오일러 함수)\[z=q,q=e^{-\epsilon}\] 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)\[\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\]\[\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\]
  • 26=24+2는 보존 끈이론의 차원



메모

관련된 항목들


위키링크


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문


관련기사

메타데이터

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Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'modular'}, {'LEMMA': 'group'}]
  • [{'LOWER': 'psl(2;ℤ'}, {'LEMMA': ')'}]
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