"에르미트 다항식(Hermite polynomials)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지의 이름을 Hermite polynomials로 바꾸었습니다.)
 
(사용자 2명의 중간 판 21개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==개요==
  
 +
*  고전적인 직교다항식의 하나
 +
 +
*  확률론에서 등장
 +
*  물리학의 양자조화진동자의 파동함수로 기술하는데 사용됨
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==정의==
 +
 +
*  로드리게즈 공식
 +
:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})</math>
 +
 +
 +
 +
==직교성==
 +
 +
* weight함수
 +
:<math>w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}</math>
 +
* <math>m\neq n</math> 일 때
 +
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0</math>
 +
* <math>m=n</math> 일 때
 +
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}</math>
 +
===예===
 +
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_4(x) H_4(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty (12-48 x^2+16 x^4)^2\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x =384\sqrt{\pi}</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==에르미트 다항식의 미분==
 +
 +
<math>H_n'(x) = 2nH_{n-1}(x)</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==3항점화식==
 +
 +
<math>H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==생성함수==
 +
 +
<math>e^{2xt-t^2} = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}=1+2 x t+\left(-1+2 x^2\right) t^2+\frac{2}{3} \left(-3 x+2 x^3\right) t^3+\frac{1}{6} \left(3-12 x^2+4 x^4\right) t^4+\cdots</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==에르미트 미분방정식==
 +
 +
* <math>H_n(x)</math> 는 <math>u'' - 2xu'+2n u=0</math>의 해이다   
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==목록==
 +
:<math>
 +
\begin{array}{c|c}
 +
n & H_n \\
 +
\hline
 +
0 & 1 \\
 +
1 & 2 x \\
 +
2 & 4 x^2-2 \\
 +
3 & 8 x^3-12 x \\
 +
4 & 16 x^4-48 x^2+12 \\
 +
5 & 32 x^5-160 x^3+120 x \\
 +
6 & 64 x^6-480 x^4+720 x^2-120 \\
 +
7 & 128 x^7-1344 x^5+3360 x^3-1680 x \\
 +
8 & 256 x^8-3584 x^6+13440 x^4-13440 x^2+1680 \\
 +
9 & 512 x^9-9216 x^7+48384 x^5-80640 x^3+30240 x \\
 +
10 & 1024 x^{10}-23040 x^8+161280 x^6-403200 x^4+302400 x^2-30240 \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
 +
 +
==역사==
 +
 +
* [[수학사 연표]]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==메모==
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
 +
* [[정규분포와 그 확률밀도함수]]
 +
 +
 +
==매스매티카 파일 및 계산리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxX1N2eXJYYWhNbU0/edit
 +
 +
 +
==사전 형태의 자료== 
 +
* http://ko.wikipedia.org/wiki/에르미트_다항식
 +
* http://ko.wikipedia.org/wiki/양자조화진동자
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
 +
* http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
 +
* http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html
 +
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Hermite+polynomials
 +
[[분류:특수함수]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q658574 Q658574]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:53 기준 최신판

개요

  • 고전적인 직교다항식의 하나
  • 확률론에서 등장
  • 물리학의 양자조화진동자의 파동함수로 기술하는데 사용됨



정의

  • 로드리게즈 공식

\[H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\]


직교성

  • weight함수

\[w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\]

  • \(m\neq n\) 일 때

\[\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0\]

  • \(m=n\) 일 때

\[\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_n(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\]

예

\[\int_{-\infty}^\infty H_4(x) H_4(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty (12-48 x^2+16 x^4)^2\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x =384\sqrt{\pi}\]



에르미트 다항식의 미분

\(H_n'(x) = 2nH_{n-1}(x)\)



3항점화식

\(H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)\)



생성함수

\(e^{2xt-t^2} = \sum_{n=0}^\infty H_n(x) \frac {t^n}{n!}=1+2 x t+\left(-1+2 x^2\right) t^2+\frac{2}{3} \left(-3 x+2 x^3\right) t^3+\frac{1}{6} \left(3-12 x^2+4 x^4\right) t^4+\cdots\)



에르미트 미분방정식

  • \(H_n(x)\) 는 \(u'' - 2xu'+2n u=0\)의 해이다



목록

\[ \begin{array}{c|c} n & H_n \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 x \\ 2 & 4 x^2-2 \\ 3 & 8 x^3-12 x \\ 4 & 16 x^4-48 x^2+12 \\ 5 & 32 x^5-160 x^3+120 x \\ 6 & 64 x^6-480 x^4+720 x^2-120 \\ 7 & 128 x^7-1344 x^5+3360 x^3-1680 x \\ 8 & 256 x^8-3584 x^6+13440 x^4-13440 x^2+1680 \\ 9 & 512 x^9-9216 x^7+48384 x^5-80640 x^3+30240 x \\ 10 & 1024 x^{10}-23040 x^8+161280 x^6-403200 x^4+302400 x^2-30240 \\ \end{array} \]


역사



메모

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산리소스


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=에르미트_다항식(Hermite_polynomials)&oldid=52398"