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* ring class field <math>K(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{2})</math>
 
* ring class field <math>K(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{2})</math>
  
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==소수가 <math>x^2+27y^2</math> 꼴로 쓰여질 필요충분조건==
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==<math>x^2+27y^2</math> 꼴로 표현되는 정수==
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* <math>p>3</math> 이 소수라 하자.
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* <math>p\equiv 1\pmod 3</math>이면, <math>4p=x^2+27y^2</math>를 만족시키는 <math>(x,y)\in \mathbb{Z}^2</math>가 유일하게 존재(부호의 차이를 무시할 때)
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* <math>p\equiv 2\pmod 3</math>이면, <math>4p=x^2+27y^2</math>를 만족시키는 <math>(x,y)\in \mathbb{Z}^2</math>가 존재하지 않는다
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* 다음 조건은 동치이다
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** <math>x^2+27y^2=p</math>의 정수해가 존재한다
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** <math>p\equiv 1\pmod 3</math>  이고, <math>x^3-2\equiv0\pmod p</math> 가 해를 갖는다. 즉, 2가 <math>p</math>에 대한 3차 잉여이다
  
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* <math>p>3</math> 이 소수라 하자. 다음 조건은 동치이다<br>
 
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** <math>p=x^2+27y^2</math><br>
 
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** <math>p\equiv 1\pmod 3</math>  이고, <math>x^3-2\equiv0\pmod p</math> 가 해를 갖는다<br>
 
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** <math>p\equiv 1\pmod 3</math>  이고, 2가 <math>\mod p</math>로 cubic residue 이다<br>
 
  
 
==<math>x^3\equiv 2\pmod p</math> 의 해의 개수==
 
==<math>x^3\equiv 2\pmod p</math> 의 해의 개수==
  
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*  3 <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고 <math>p=x^2+27y^2</math>형태로 쓸 수 있는 경우<br>
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*  3,  <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고 <math>p=x^2+27y^2</math>형태로 쓸 수 있는 경우
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*  2 불가능<br>
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*  2,  불가능
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*  1 <math>p \not\equiv1 \pmod 3</math> 인 경우<br>
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*  1,  <math>p \not\equiv1 \pmod 3</math> 인 경우
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*  0 <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고 <math>p=x^2+27y^2</math>형태로 쓸 수 없는 경우<br>
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*  0,  <math>p\equiv 1\pmod 3</math> 이고 <math>p=x^2+27y^2</math>형태로 쓸 수 없는 경우
  
 
   
 
   
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===테이블1===
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* 맨 오른쪽의 <math>\{x,y\}</math>는 <math>x^2+27y^2=p</math>의 해이며, 없는 경우는 0로 나타내었다
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:<math>\begin{array}{c|c|c|c}
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p & p \bmod 3 & x^3-2 \pmod p & \{x,y\} \\
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\hline
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2 & 2 & x^3 & 0 \\
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3 & 0 & (x+1)^3 & 0 \\
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5 & 2 & (x+2) \left(x^2+3 x+4\right) & 0 \\
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7 & 1 & x^3+5 & 0 \\
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11 & 2 & (x+4) \left(x^2+7 x+5\right) & 0 \\
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13 & 1 & x^3+11 & 0 \\
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17 & 2 & (x+9) \left(x^2+8 x+13\right) & 0 \\
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19 & 1 & x^3+17 & 0 \\
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23 & 2 & (x+7) \left(x^2+16 x+3\right) & 0 \\
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29 & 2 & (x+3) \left(x^2+26 x+9\right) & 0 \\
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31 & 1 & (x+11) (x+24) (x+27) & \{2,1\} \\
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37 & 1 & x^3+35 & 0 \\
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41 & 2 & (x+36) \left(x^2+5 x+25\right) & 0 \\
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43 & 1 & (x+9) (x+11) (x+23) & \{4,1\} \\
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47 & 2 & (x+26) \left(x^2+21 x+18\right) & 0 \\
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53 & 2 & (x+35) \left(x^2+18 x+6\right) & 0 \\
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59 & 2 & (x+21) \left(x^2+38 x+28\right) & 0 \\
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61 & 1 & x^3+59 & 0 \\
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67 & 1 & x^3+65 & 0 \\
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71 & 2 & (x+22) \left(x^2+49 x+58\right) & 0 \\
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73 & 1 & x^3+71 & 0 \\
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79 & 1 & x^3+77 & 0 \\
 +
83 & 2 & (x+33) \left(x^2+50 x+10\right) & 0 \\
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89 & 2 & (x+73) \left(x^2+16 x+78\right) & 0 \\
 +
97 & 1 & x^3+95 & 0 \\
 +
101 & 2 & (x+75) \left(x^2+26 x+70\right) & 0 \\
 +
103 & 1 & x^3+101 & 0 \\
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107 & 2 & (x+101) \left(x^2+6 x+36\right) & 0 \\
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109 & 1 & (x+6) (x+51) (x+52) & \{1,2\} \\
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113 & 2 & (x+32) \left(x^2+81 x+7\right) & 0
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\end{array}
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</math>
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===테이블2===
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* <math>p\equiv 1 \pmod 3</math>인 경우만 따로 고려
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:<math>
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\begin{array}{c|c|c|c}
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p & p \bmod 3 & x^3-2 & \{x,y\} \\
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\hline
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7 & 1 & x^3+5 & 0 \\
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13 & 1 & x^3+11 & 0 \\
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19 & 1 & x^3+17 & 0 \\
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31 & 1 & (x+11) (x+24) (x+27) & \{2,1\} \\
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37 & 1 & x^3+35 & 0 \\
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43 & 1 & (x+9) (x+11) (x+23) & \{4,1\} \\
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61 & 1 & x^3+59 & 0 \\
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67 & 1 & x^3+65 & 0 \\
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97 & 1 & x^3+95 & 0 \\
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103 & 1 & x^3+101 & 0 \\
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109 & 1 & (x+6) (x+51) (x+52) & \{1,2\} \\
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127 & 1 & (x+5) (x+27) (x+95) & \{10,1\} \\
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139 & 1 & x^3+137 & 0 \\
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151 & 1 & x^3+149 & 0 \\
 +
157 & 1 & (x+21) (x+41) (x+95) & \{7,2\} \\
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163 & 1 & x^3+161 & 0 \\
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181 & 1 & x^3+179 & 0 \\
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193 & 1 & x^3+191 & 0 \\
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199 & 1 & x^3+197 & 0 \\
 +
211 & 1 & x^3+209 & 0 \\
 +
223 & 1 & (x+24) (x+44) (x+155) & \{14,1\} \\
 +
229 & 1 & (x+131) (x+150) (x+177) & \{11,2\}
 +
\end{array}
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</math>
  
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==역사==
 
==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[수학사 연표]]
  
 
   
 
   
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
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* [[유한체 위의 타원곡선에 대한 가우스 정리]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQV9BdDhJNFV3emM/edit
  
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* 
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
−
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
−
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
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==사전 형태의 자료==
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
−
* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
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==관련논문==
 
  
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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[[분류:에세이]]
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* http://www.ams.org/mathscinet
+
[[분류:정수론]]
−
* http://dx.doi.org/
 

2020년 11월 12일 (목) 02:06 기준 최신판

개요

  • \(\mathcal{O}=\mathbb{Z}(\sqrt{-27})\subset K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
  • ring class field \(K(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{2})\)


\(x^2+27y^2\) 꼴로 표현되는 정수

  • \(p>3\) 이 소수라 하자.
  • \(p\equiv 1\pmod 3\)이면, \(4p=x^2+27y^2\)를 만족시키는 \((x,y)\in \mathbb{Z}^2\)가 유일하게 존재(부호의 차이를 무시할 때)
  • \(p\equiv 2\pmod 3\)이면, \(4p=x^2+27y^2\)를 만족시키는 \((x,y)\in \mathbb{Z}^2\)가 존재하지 않는다
  • 다음 조건은 동치이다
    • \(x^2+27y^2=p\)의 정수해가 존재한다
    • \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고, \(x^3-2\equiv0\pmod p\) 가 해를 갖는다. 즉, 2가 \(p\)에 대한 3차 잉여이다


\(x^3\equiv 2\pmod p\) 의 해의 개수

  • 3, \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 있는 경우
  • 2, 불가능
  • 1, \(p \not\equiv1 \pmod 3\) 인 경우
  • 0, \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 없는 경우


테이블1

  • 맨 오른쪽의 \(\{x,y\}\)는 \(x^2+27y^2=p\)의 해이며, 없는 경우는 0로 나타내었다

\[\begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 3 & x^3-2 \pmod p & \{x,y\} \\ \hline 2 & 2 & x^3 & 0 \\ 3 & 0 & (x+1)^3 & 0 \\ 5 & 2 & (x+2) \left(x^2+3 x+4\right) & 0 \\ 7 & 1 & x^3+5 & 0 \\ 11 & 2 & (x+4) \left(x^2+7 x+5\right) & 0 \\ 13 & 1 & x^3+11 & 0 \\ 17 & 2 & (x+9) \left(x^2+8 x+13\right) & 0 \\ 19 & 1 & x^3+17 & 0 \\ 23 & 2 & (x+7) \left(x^2+16 x+3\right) & 0 \\ 29 & 2 & (x+3) \left(x^2+26 x+9\right) & 0 \\ 31 & 1 & (x+11) (x+24) (x+27) & \{2,1\} \\ 37 & 1 & x^3+35 & 0 \\ 41 & 2 & (x+36) \left(x^2+5 x+25\right) & 0 \\ 43 & 1 & (x+9) (x+11) (x+23) & \{4,1\} \\ 47 & 2 & (x+26) \left(x^2+21 x+18\right) & 0 \\ 53 & 2 & (x+35) \left(x^2+18 x+6\right) & 0 \\ 59 & 2 & (x+21) \left(x^2+38 x+28\right) & 0 \\ 61 & 1 & x^3+59 & 0 \\ 67 & 1 & x^3+65 & 0 \\ 71 & 2 & (x+22) \left(x^2+49 x+58\right) & 0 \\ 73 & 1 & x^3+71 & 0 \\ 79 & 1 & x^3+77 & 0 \\ 83 & 2 & (x+33) \left(x^2+50 x+10\right) & 0 \\ 89 & 2 & (x+73) \left(x^2+16 x+78\right) & 0 \\ 97 & 1 & x^3+95 & 0 \\ 101 & 2 & (x+75) \left(x^2+26 x+70\right) & 0 \\ 103 & 1 & x^3+101 & 0 \\ 107 & 2 & (x+101) \left(x^2+6 x+36\right) & 0 \\ 109 & 1 & (x+6) (x+51) (x+52) & \{1,2\} \\ 113 & 2 & (x+32) \left(x^2+81 x+7\right) & 0 \end{array} \]

테이블2

  • \(p\equiv 1 \pmod 3\)인 경우만 따로 고려

\[ \begin{array}{c|c|c|c} p & p \bmod 3 & x^3-2 & \{x,y\} \\ \hline 7 & 1 & x^3+5 & 0 \\ 13 & 1 & x^3+11 & 0 \\ 19 & 1 & x^3+17 & 0 \\ 31 & 1 & (x+11) (x+24) (x+27) & \{2,1\} \\ 37 & 1 & x^3+35 & 0 \\ 43 & 1 & (x+9) (x+11) (x+23) & \{4,1\} \\ 61 & 1 & x^3+59 & 0 \\ 67 & 1 & x^3+65 & 0 \\ 73 & 1 & x^3+71 & 0 \\ 79 & 1 & x^3+77 & 0 \\ 97 & 1 & x^3+95 & 0 \\ 103 & 1 & x^3+101 & 0 \\ 109 & 1 & (x+6) (x+51) (x+52) & \{1,2\} \\ 127 & 1 & (x+5) (x+27) (x+95) & \{10,1\} \\ 139 & 1 & x^3+137 & 0 \\ 151 & 1 & x^3+149 & 0 \\ 157 & 1 & (x+21) (x+41) (x+95) & \{7,2\} \\ 163 & 1 & x^3+161 & 0 \\ 181 & 1 & x^3+179 & 0 \\ 193 & 1 & x^3+191 & 0 \\ 199 & 1 & x^3+197 & 0 \\ 211 & 1 & x^3+209 & 0 \\ 223 & 1 & (x+24) (x+44) (x+155) & \{14,1\} \\ 229 & 1 & (x+131) (x+150) (x+177) & \{11,2\} \end{array} \]


역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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