"자연상수 e"의 두 판 사이의 차이
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Pythagoras0 (토론 | 기여) |
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| − | + | ==개요== | |
| − | + | * 다음 수열의 극한을 통해 정의됨:<math>e=\lim_{n\to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240\cdots</math> | |
| + | ** 이 수열은 느리게 수렴함 | ||
| + | * 급수를 통한 표현:<math>e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math> | ||
| + | ** 이 급수는 빠르게 수렴함 | ||
| + | * 미적분학에서 가장 중요한 역할을 하는 수의 하나로 다음 함수들을 정의할 수 있게 해줌 | ||
| + | ** 지수함수 <math>e^x</math> | ||
| + | ** 자연로그함수 <math>\ln x = \log_{e} x</math> | ||
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| − | + | ==이자율을 통한 이해== | |
| − | + | 수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자. | |
| − | <math>a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, \cdots, a(1+r)^n, \cdots</math> | + | 자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금 |
| + | :<math>a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, \cdots, a(1+r)^n, \cdots</math> | ||
로 늘어나게 된다. | 로 늘어나게 된다. | ||
이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다. | 이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다. | ||
| − | + | :<math>(1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25</math> | |
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수익이 더 높아졌다! | 수익이 더 높아졌다! | ||
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만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다. | 만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다. | ||
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수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다. | 수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다. | ||
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이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다. | 이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다. | ||
| − | + | # 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다. | |
| − | + | # 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다. | |
이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은, | 이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은, | ||
| − | + | ㅣ<math>(1 + \frac{1}{n})^n</math> | |
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이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “[http://bomber0.byus.net/index.php/2008/03/30/570 리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장]“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다. | 이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “[http://bomber0.byus.net/index.php/2008/03/30/570 리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장]“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다. | ||
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| + | <math>(1 + \frac{1}{n})^n<3</math> 의 증명 | ||
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| + | <math>(1 + \frac{1}{n})^n</math>는 증가수열 및 자연상수의 정의. | ||
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| + | ==수열의 수렴== | ||
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| + | * 정의에 사용된 수열은 매우 느리게 수렴함 | ||
| + | :<math>a_n=(1 + \frac{1}{n})^n</math> | ||
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| + | [[파일:3623769-e.gif]] | ||
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| + | * <math>a_1</math>부터 <math>a_{20}</math>까지의 값 2.0000000000000000000 2.2500000000000000000 2.3703703703703703704 2.4414062500000000000 2.4883200000000000000 2.5216263717421124829 2.5464996970407131139 2.5657845139503479004 2.5811747917131971820 2.5937424601000000000 2.6041990118975308782 2.6130352902246781603 2.6206008878857322211 2.6271515563008693884 2.6328787177279190470 2.6379284973665998588 2.6424143751831096203 2.6464258210976854673 2.6500343266404449073 2.6532977051444201339 | ||
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| − | + | ==급수의 수렴== | |
| − | <math> | + | * 다음 급수는 빠르게 자연상수로 수렴하므로 자연상수의 십진법 전개를 계산하는데 사용될 수 있음:<math>b_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}</math> |
| + | * <math>b_1</math>부터 <math>b_{20}</math>까지의 값 2.00000000000000000000000000000 2.50000000000000000000000000000 2.66666666666666666666666666667 2.70833333333333333333333333333 2.71666666666666666666666666667 2.71805555555555555555555555556 2.71825396825396825396825396825 2.71827876984126984126984126984 2.71828152557319223985890652557 2.71828180114638447971781305115 2.71828182619849286515953182620 2.71828182828616856394634172412 2.71828182844675900231455787011 2.71828182845822974791228759483 2.71828182845899446428546957647 2.71828182845904225905879345033 2.71828182845904507051604779585 2.71828182845904522670811748171 2.71828182845904523492875272834 2.71828182845904523533978449067 | ||
| − | + | ||
| − | + | ==자연상수의 소수점 1000자리까지의 전개== | |
| − | + | * 소수점 1000자리 십진전개 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407\ 6630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572\ 9003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341\ 8793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544\ 2437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297\ 6067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086\ 5746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688\ 9230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398\ 4964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376\ 7932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125\ 0996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805\ 8257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902\ 3530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642\ 4378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965\ 521267154688957035035 | |
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| − | == | + | ==재미있는 사실== |
| − | * | + | * <math>e^{-e}<x<e^{1/e}</math> 인 x에 대해 <math>{{{x^x}^x}^x}^{...}</math>은 극한을 갖는다. |
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| − | + | ==역사== | |
| − | + | * [[수학사 연표]] | |
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| − | + | ==메모== | |
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
| + | * [[수학의 상수들(mathematical constants)]] | ||
| + | * [[자연상수 e 는 무리수이다]] | ||
| + | * [[자연상수 e는 초월수이다]] | ||
| + | * [[자연상수 e의 유리수 근사]] | ||
| + | * [[자연로그는 왜 자연로그라고 불리나?]] | ||
| + | * [[산술기하조화평균과 부등식]] | ||
| + | * [[로그 함수]] | ||
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| − | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/자연상수 | |
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant) | ||
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| − | + | ==관련논문과 에세이== | |
| − | * http:// | + | * [http://www.jstor.org/stable/2308112 The Number e] |
| − | * | + | ** J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly, Vol. 57, No. 9 (Nov., 1950), pp. 591-602 |
| − | + | * [http://www.jstor.org/stable/3028204 Why Logarithms to the Base e Can Justly Be Called Natural Logarithms] | |
| − | + | ** John Ellis Evans, <cite>National Mathematics Magazine</cite>, Vol. 14, No. 2 (Nov., 1939), pp. 91-95 | |
| − | * http://www. | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
| − | * [http:// | + | * [http://book.daum.net/detail/book.do?bookid=KOR9788972824671 오일러가 사랑한 수 e] (경문수학산책16) e : (The) Story of a number |
| − | ** | + | ** 엘리 마오 지음, 허민, 옮김, 경문사, 2000-12-01 |
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| − | + | ==관련기사== | |
| − | * [http:// | + | * [http://news20.busan.com/news/newsController.jsp?sectionId=1_2&newsId=20090814000170 도박,그만둘 때를 알면 잃지 않는다], 임원철, 부산일보, 2009-8-15 |
| − | * [http:// | + | * [http://www.hankyung.com/news/app/newsview.php?aid=2009042412011 김희연의 자연계 논술 노트 ⑨ 오일러의 수 (자연상수 е)], 김희연, 한국경제, 2009-04-24 |
| − | * | + | * [http://www.hankyung.com/news/app/newsview.php?aid=2009042396881 이자에 이자 붙는 `복리의 마술`], 정재형, 한국경제, 2009-04-24 |
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| − | + | ==블로그== | |
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| − | + | * [http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ An Intuitive Guide To Exponential Functions & e] | |
| + | ** BetterExplained | ||
| + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/05/575 리만의 제타함수 (6) : 자연상수] | ||
| + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/26/696 derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수] (피타고라스의 창) | ||
| − | + | [[분류:상수]] | |
| + | [[분류:고교수학]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q82435 Q82435] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LEMMA': 'e'}] | ||
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| + | * [{'LOWER': 'napier'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'constant'}] | ||
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| + | * [{'LEMMA': '𝑒'}] | ||
| + | * [{'LEMMA': 'ε'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'e'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'mathematical'}, {'LOWER': 'constant'}, {'LEMMA': ')'}] | ||
| + | * [{'LEMMA': '2.718'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:57 기준 최신판
개요
- 다음 수열의 극한을 통해 정의됨\[e=\lim_{n\to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240\cdots\]
- 이 수열은 느리게 수렴함
- 급수를 통한 표현\[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]
- 이 급수는 빠르게 수렴함
- 미적분학에서 가장 중요한 역할을 하는 수의 하나로 다음 함수들을 정의할 수 있게 해줌
- 지수함수 \(e^x\)
- 자연로그함수 \(\ln x = \log_{e} x\)
이자율을 통한 이해
수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자.
자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금 \[a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, \cdots, a(1+r)^n, \cdots\]
로 늘어나게 된다.
이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다. \[(1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25\]
수익이 더 높아졌다!
만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다.
\[(1+\frac{1}{3})^3 = 2.3703704\cdots\]
수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다.
\[(1 + \frac{1}{n})^n\]
이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다.
- 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다.
- 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다.
이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은,
ㅣ\((1 + \frac{1}{n})^n\)
이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다.
수열
\((1 + \frac{1}{n})^n<3\) 의 증명
\((1 + \frac{1}{n})^n\)는 증가수열 및 자연상수의 정의.
수열의 수렴
- 정의에 사용된 수열은 매우 느리게 수렴함
\[a_n=(1 + \frac{1}{n})^n\]
- \(a_1\)부터 \(a_{20}\)까지의 값 2.0000000000000000000 2.2500000000000000000 2.3703703703703703704 2.4414062500000000000 2.4883200000000000000 2.5216263717421124829 2.5464996970407131139 2.5657845139503479004 2.5811747917131971820 2.5937424601000000000 2.6041990118975308782 2.6130352902246781603 2.6206008878857322211 2.6271515563008693884 2.6328787177279190470 2.6379284973665998588 2.6424143751831096203 2.6464258210976854673 2.6500343266404449073 2.6532977051444201339
급수의 수렴
- 다음 급수는 빠르게 자연상수로 수렴하므로 자연상수의 십진법 전개를 계산하는데 사용될 수 있음\[b_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\]
- \(b_1\)부터 \(b_{20}\)까지의 값 2.00000000000000000000000000000 2.50000000000000000000000000000 2.66666666666666666666666666667 2.70833333333333333333333333333 2.71666666666666666666666666667 2.71805555555555555555555555556 2.71825396825396825396825396825 2.71827876984126984126984126984 2.71828152557319223985890652557 2.71828180114638447971781305115 2.71828182619849286515953182620 2.71828182828616856394634172412 2.71828182844675900231455787011 2.71828182845822974791228759483 2.71828182845899446428546957647 2.71828182845904225905879345033 2.71828182845904507051604779585 2.71828182845904522670811748171 2.71828182845904523492875272834 2.71828182845904523533978449067
자연상수의 소수점 1000자리까지의 전개
- 소수점 1000자리 십진전개 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407\ 6630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572\ 9003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341\ 8793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544\ 2437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297\ 6067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086\ 5746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688\ 9230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398\ 4964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376\ 7932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125\ 0996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805\ 8257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902\ 3530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642\ 4378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965\ 521267154688957035035
재미있는 사실
- \(e^{-e}<x<e^{1/e}\) 인 x에 대해 \({{{x^x}^x}^x}^{...}\)은 극한을 갖는다.
역사
메모
관련된 항목들
- 수학의 상수들(mathematical constants)
- 자연상수 e 는 무리수이다
- 자연상수 e는 초월수이다
- 자연상수 e의 유리수 근사
- 자연로그는 왜 자연로그라고 불리나?
- 산술기하조화평균과 부등식
- 로그 함수
사전 형태의 자료
관련논문과 에세이
- The Number e
- J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly, Vol. 57, No. 9 (Nov., 1950), pp. 591-602
- Why Logarithms to the Base e Can Justly Be Called Natural Logarithms
- John Ellis Evans, National Mathematics Magazine, Vol. 14, No. 2 (Nov., 1939), pp. 91-95
관련도서
- 오일러가 사랑한 수 e (경문수학산책16) e : (The) Story of a number
- 엘리 마오 지음, 허민, 옮김, 경문사, 2000-12-01
관련기사
- 도박,그만둘 때를 알면 잃지 않는다, 임원철, 부산일보, 2009-8-15
- 김희연의 자연계 논술 노트 ⑨ 오일러의 수 (자연상수 е), 김희연, 한국경제, 2009-04-24
- 이자에 이자 붙는 `복리의 마술`, 정재형, 한국경제, 2009-04-24
블로그
- An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
- BetterExplained
- 리만의 제타함수 (6) : 자연상수
- derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수 (피타고라스의 창)
메타데이터
위키데이터
- ID : Q82435
Spacy 패턴 목록
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