"정다면체"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | ==개요== | |
| − | * | + | * 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형볼록한 정다면체는 다섯가지가 존재한다. |
| − | + | ** 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 | |
| − | ** 정사면체 | + | * 오목한 정다면체는 네 가지가 존재한다. |
| − | + | ** 작은 별모양 정십이면체, 큰 별모양 정십이면체, 큰 정이십면체, 큰 정십이면체 | |
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| − | + | ==다섯개의 볼록 정다면체== | |
| + | * 정사면체 | ||
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| + | * 정팔면체 | ||
| + | * 정십이면체 | ||
| + | * [[정이십면체]] | ||
| − | + | {| width="1259" style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse; font-size: 12px;" | |
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| + | | 다면체 | ||
| + | | 점 <em style="">V</em> | ||
| + | | 선 <em style="">E</em> | ||
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| + | | 한점에서의 결손각(angle defect) <em style="">A</em> | ||
| + | | 결손각의 총합 <em style="">V × A</em> | ||
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| + | | 8-12+6=2 | ||
| + | | <math>2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}</math> | ||
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| + | | 정팔면체 | ||
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| + | ==네개의 오목 정다면체== | ||
| + | * 작은 별모양 정십이면체 | ||
| + | * 큰 별모양 정십이면체 | ||
| + | * 큰 정십이면체 | ||
| + | * 큰 정이십면체 | ||
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| + | {| width="1259" style="line-height: 2em; width: 896px; margin: 1em auto; border-collapse: collapse; font-size: 12px; background-color: rgb(255, 255, 255); text-align: center;" | ||
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| + | | 다면체 | ||
| + | | 점 <em style="line-height: 2em;">V</em> | ||
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정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자. | 정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자. | ||
| − | 꼭지점의 | + | 꼭지점의 개수는 |
| − | + | <math>V = \frac{pF}{q}</math> | |
| − | + | 변의 개수는 | |
| − | + | <math>E = \frac{pF}{2}</math> | |
| − | + | 여기서 | |
| − | + | <math>n = qV = pF = 2E</math> 로 두자. | |
| − | + | 오일러의 정리로부터, | |
| − | + | <math>2pq\times (V-E+F) = 2pq\times 2</math> | |
| − | + | <math>2pn - pqn + 2qn= 4 pq</math> | |
| − | < | + | <math>2pn + 2qn= 4 pq + pqn</math> |
| − | + | 양변을 <math>2pqn</math> 으로 나누면, | |
| − | + | <math>\frac{1}{q} + \frac{1}{p}= \frac{2}{n} + \frac{1}{2}</math> | |
| − | + | <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}</math> | |
| − | + | 부등식을 풀면, <math>\{3, 3\}, \{4, 3\},\{3, 4\},\{5, 3\},\{3,5\}</math> 다섯개의 해를 얻는다.■ | |
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| − | + | ==군론을 통한 증명== | |
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| − | + | ==플라톤과 정다면체== | |
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| − | + | 플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다. 정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다. | |
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| − | + | ==케플러와 정다면체== | |
| − | + | 케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다. 먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다. | |
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| − | + | ==재미있는 사실== | |
| − | + | * 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함 | |
| + | ** http://images.google.com/images?q=dali+last+supper | ||
| + | * 파치올리 | ||
| + | ** http://images.google.com/images?q=pacioli | ||
| + | * 뒤러의 melancholia | ||
| + | ** [http://images.google.com/images?hl=ko&sa=1&q=durer+melancholia http://images.google.com/images?q=durer_melancholia] | ||
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| − | + | ==메모== | |
| + | * http://virus.chem.ucla.edu/icosahedral_symmetry | ||
| + | * Roya Zandi et al., “Origin of icosahedral symmetry in viruses,” Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 101, no. 44 (November 2, 2004): 15556 -15560. | ||
| + | * 카탈란 다면체 | ||
| + | * 아르키메데스 다면체 | ||
| + | * 마름모 이십면체 달력 [http://www.ii.uib.no/%7Earntzen/kalender/ http://www.ii.uib.no/~arntzen/kalender/] | ||
| + | * [[24-cell]] | ||
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| + | ==관련된 항목들== | ||
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| + | * [[3차원 유한회전군의 분류]] | ||
* [[축구공의 수학]] | * [[축구공의 수학]] | ||
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]] | * [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]] | ||
* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]] | * [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]] | ||
* [[황금비]] | * [[황금비]] | ||
| + | * [[구면기하학]] | ||
| + | * [[타일링과 테셀레이션|테셀레이션]] | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
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| − | + | * {{학술용어집|url=isotropy}} | |
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| − | * [http://www.jstor.org/stable/1574735 Art and Mathematics: The Platonic Solids] | + | ==관련논문== |
| − | ** Michele Emmer | + | |
| − | + | * [http://www.jstor.org/stable/1574735 Art and Mathematics: The Platonic Solids] | |
| + | ** Michele Emmer, Leonardo, Vol. 15, No. 4 (Autumn, 1982), pp. 277-282 | ||
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 http://ko.wikipedia.org/wiki/정다면체] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 http://ko.wikipedia.org/wiki/정다면체] | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solids | * http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solids | ||
* 다음백과사전 [http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=정다면체] | * 다음백과사전 [http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=%EC%A0%95%EB%8B%A4%EB%A9%B4%EC%B2%B4 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=정다면체] | ||
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| − | + | * [http://news.khan.co.kr/section/khan_art_view.html?mode=view&artid=200706190930252&code=900314 [영재교육원 수학특강](24) 축구공의 비밀(4)] | |
| + | ** 경향신문, 2007-6-19 | ||
| + | * [http://news.naver.com/main/read.nhn?mode=LSD&mid=sec&sid1=105&oid=009&aid=0000445147 [생활 속 과학] 빨대로 정다면체 만들기] | ||
| + | ** 매일경제, 2005-06-15 | ||
| − | + | ||
| + | [[분류:중학수학]] | ||
| + | [[분류:테셀레이션]] | ||
| + | [[분류:구면기하학]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q188745 Q188745] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'platonic'}, {'LEMMA': 'solid'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'platonic'}, {'LEMMA': 'polyhedron'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:58 기준 최신판
개요
- 다면체 중에서 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있으며, 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수가 같은 도형볼록한 정다면체는 다섯가지가 존재한다.
- 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체
- 오목한 정다면체는 네 가지가 존재한다.
- 작은 별모양 정십이면체, 큰 별모양 정십이면체, 큰 정이십면체, 큰 정십이면체
다섯개의 볼록 정다면체
- 정사면체
- 정육면체
- 정팔면체
- 정십이면체
- 정이십면체
| 다면체 | 점 V | 선 E | 면 F | V-E+F | 한점에서의 결손각(angle defect) A | 결손각의 총합 V × A |
| 정사면체 | 4 | 6 | 4 | 4-6+4=2 | \(2\pi-3\times\frac{\pi}{3}=\pi\) | \(4\times\pi=4\pi\) |
| 정육면체 | 8 | 12 | 6 | 8-12+6=2 | \(2\pi-3\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) | \(8\times\frac{\pi}{2}=4\pi\) |
| 정팔면체 | 6 | 12 | 8 | 6-12+8=2 | \(2\pi-4\times\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) | \(6\times\frac{2\pi}{3}=4\pi\) |
| 정십이면체 | 20 | 30 | 12 | 20-30+12=2 | \(2\pi-3\times\frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) | \(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\) |
| 정이십면체 | 12 | 30 | 20 | 12-30+20=2 | \(2\pi-5\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) | \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\) |
네개의 오목 정다면체
- 작은 별모양 정십이면체
- 큰 별모양 정십이면체
- 큰 정십이면체
- 큰 정이십면체
| 다면체 | 점 V | 선 E | 면 F |
| 작은 별모양 정십이면체 | 30 | 12 | 12 |
| 큰 별모양 정십이면체 | 30 | 20 | 12 |
| 큰 정십이면체 | 30 | 12 | 12 |
| 큰 정이십면체 | 30 | 12 | 20 |
정다면체의 분류
(증명)
정다면체가 F개의 정p각형으로 구성되어 있고, 각 꼭지점점에서 q개가 만난다고 하자.
꼭지점의 개수는
\(V = \frac{pF}{q}\)
변의 개수는
\(E = \frac{pF}{2}\)
여기서
\(n = qV = pF = 2E\) 로 두자.
오일러의 정리로부터,
\(2pq\times (V-E+F) = 2pq\times 2\)
\(2pn - pqn + 2qn= 4 pq\)
\(2pn + 2qn= 4 pq + pqn\)
양변을 \(2pqn\) 으로 나누면,
\(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}= \frac{2}{n} + \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} > \frac{1}{2}\)
부등식을 풀면, \(\{3, 3\}, \{4, 3\},\{3, 4\},\{5, 3\},\{3,5\}\) 다섯개의 해를 얻는다.■
군론을 통한 증명
플라톤과 정다면체
플라톤은 티마이오스에서, 우주가 4가지의 원소로 구성되어 있다고 했다. 불;공기;물 그리고 땅이 그것이다. 정다면체를 영어로 Platonic Solids 라고 한다. 플라톤이 직접 이것을 발견한 것은 아니었지만, 이렇게 플라톤의 이름이 여기에 붙게 된 것은 아마도, 플라톤이 위의 티마이오스에서, 각각의 원소를 각각의 정다면체에 대응시켜 놓았기 때문일 것이다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.
케플러와 정다면체
케플러는 행성의 운동에 대한 여러가지 가설들을 만들고 테스트했는데, 그 중에 재밌는 것이 있다. 케플러의 시대만 하더라도, 알려진 행성이 여섯개였다고 한다. 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성이 바로 그것들이다. 여기서 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실을 우연이 아니라고 생각했다. 먼저 큰 구를 하나 가져온다. 토성의 궤도가 이 구에 놓인다. 그 다음 그 구에 내접하는 정육면체를 그리고, 다시 정육면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 목성의 궤도가 놓인다. 그 다음 구에 내접하는 정사면체와 정사면체에 내접하는 구를 그린다. 이 구에 화성의 궤도가 놓인다. 그 다음 정십이면체, 정이십면체, 마지막으로 정팔면체를 그려나가면서, 지구, 금성, 수성의 궤도를 만들어 간다. 케플러는 정다면체가 다섯개밖에 없다는 사실이 여섯개의 행성이 존재한다는 사실을 설명할 것이라 생각했다. 그러나 아마도 그는 관측결과를 바탕으로 행성운동에 대한 법칙을 세울 줄 알았던 위대한 과학자였으므로, 곧 관측 결과들이 궤도의 거리들과 일치하지 않는다는 점을 곧 깨달았을 것이다. 물론 나중에 천왕성이 발견됨으로써, 그의 이론은 산산조각이 났다.
재미있는 사실
- 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
- 파치올리
- 뒤러의 melancholia
메모
- http://virus.chem.ucla.edu/icosahedral_symmetry
- Roya Zandi et al., “Origin of icosahedral symmetry in viruses,” Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 101, no. 44 (November 2, 2004): 15556 -15560.
- 카탈란 다면체
- 아르키메데스 다면체
- 마름모 이십면체 달력 http://www.ii.uib.no/~arntzen/kalender/
- 24-cell
관련된 항목들
수학용어번역
관련논문
- Art and Mathematics: The Platonic Solids
- Michele Emmer, Leonardo, Vol. 15, No. 4 (Autumn, 1982), pp. 277-282
- http://ko.wikipedia.org/wiki/정다면체
- http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solids
- 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=정다면체
관련기사
- [영재교육원 수학특강(24) 축구공의 비밀(4)]
- 경향신문, 2007-6-19
- [생활 속 과학 빨대로 정다면체 만들기]
- 매일경제, 2005-06-15
메타데이터
위키데이터
- ID : Q188745
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'platonic'}, {'LEMMA': 'solid'}]
- [{'LOWER': 'platonic'}, {'LEMMA': 'polyhedron'}]