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==개요==
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* 컴팩트 리만곡면의 자기동형군의 크기에 대한 정리
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* Hurwitz의 정리
  
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The order of the automorphism group of a compact Riemann surface M of genus g > 1 is bounded by 84(g-1).
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증명의 아웃라인은 다음과 같다. ([http://books.google.com/books?id=bGZDU9HxgpAC Riemann Surfaces], By Hershel M. Farkas, Irwin Kra Chapter V) 이 아웃라인에 대한 증명은 [http://books.google.com/books?id=jJhWM4vAyVMC Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint] By Gareth A. Jones, David Singerman 에 잘 나와있다.
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간략하게 답을 적자면,
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(1) by the [http://en.wikipedia.org/wiki/Uniformization_theorem Uniformization theorem] (2) essentially by the [http://en.wikipedia.org/wiki/Monodromy_theorem monodromy theorem] (3) the image of a compact set under a continuous map is compact. (4),(5) (fundamental domain for a subgroup) = union of several copies (same as index) of (fundamental domain for the original group)
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이렇게 하고 보니, 학부생들에게 가르치기는 다소 무리가 있어 보이기도 한다. 우리가 공산당도 아니고… -_-
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(2)와 (5)를 보면, 문제는
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이것은 [http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem Gauss-Bonnet theorem]
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이 부등식의 증명은 [[fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리]]를 참조
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이렇게 해서 Hurwitz’s theorem 대략 증명끝.
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모든 후르비츠 군은 리만 곡면의 자기동형군으로 나타난다.
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푸앵카레 상반평면의 2-3-7 타일링을 생각하자.
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후르비츠 군은 a^2=b^3=c^7=abc=1 로 생성되는 군의 적당한 subgroup X의 quotient 군으로 나타나므로, 상반평면/X 는 이 후르비츠 군을 자기동형군으로 가진다.
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==메모==
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2007/12/13/481 Hurwitz의 정리: Compact Riemann Surface의 Automorphism group]
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** 피타고라스의 창, 2007-12-13
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==관련된 항목들==
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* [[fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리]]
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* [[가우스-보네 정리]]
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* 비유클리드 기하학
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* [[클라인의 4차곡선]]
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==수학용어번역==
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* {{Forvo|url=Hurwitz}}
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==관련도서==
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* Hershel M. Farkas, Irwin Kra [http://books.google.com/books?id=bGZDU9HxgpAC Riemann Surfaces]
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** Chapter V
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* Gareth A. Jones, David Singerman [http://books.google.com/books?id=jJhWM4vAyVMC Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint]
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==관련논문==
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* Andreas Schweizer, On the exponent of the automorphism group of a compact Riemann surface, http://arxiv.org/abs/1603.06697v1
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* Paulhus, Jennifer. “Branching Data for Curves up to Genus 48.” arXiv:1512.07657 [math], December 23, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.07657.
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[[분류:리만곡면론]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2109761 Q2109761]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'uniformization'}, {'LEMMA': 'theorem'}]

2021년 2월 17일 (수) 06:01 기준 최신판

개요

  • 컴팩트 리만곡면의 자기동형군의 크기에 대한 정리
  • Hurwitz의 정리

The order of the automorphism group of a compact Riemann surface M of genus g > 1 is bounded by 84(g-1).


증명의 아웃라인은 다음과 같다. (Riemann Surfaces, By Hershel M. Farkas, Irwin Kra Chapter V) 이 아웃라인에 대한 증명은 Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint By Gareth A. Jones, David Singerman 에 잘 나와있다.


간략하게 답을 적자면,

(1) by the Uniformization theorem (2) essentially by the monodromy theorem (3) the image of a compact set under a continuous map is compact. (4),(5) (fundamental domain for a subgroup) = union of several copies (same as index) of (fundamental domain for the original group)

이렇게 하고 보니, 학부생들에게 가르치기는 다소 무리가 있어 보이기도 한다. 우리가 공산당도 아니고… -_-

(2)와 (5)를 보면, 문제는

\(Area(U/\Gamma)\), \(Area(U/N(\Gamma))\)

을 구하는 것으로 귀결된다.

\(Area(U/\Gamma)=2\pi (2g-2)\)

이것은 Gauss-Bonnet theorem

때문에 그러하다.

이제

\(Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}\)

을 보이는 일이 남았다.

이 부등식의 증명은 fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리를 참조


이렇게 해서 Hurwitz’s theorem 대략 증명끝.



후르비츠 군

모든 후르비츠 군은 리만 곡면의 자기동형군으로 나타난다.

푸앵카레 상반평면의 2-3-7 타일링을 생각하자.

후르비츠 군은 a^2=b^3=c^7=abc=1 로 생성되는 군의 적당한 subgroup X의 quotient 군으로 나타나므로, 상반평면/X 는 이 후르비츠 군을 자기동형군으로 가진다.


메모


관련된 항목들


수학용어번역



관련도서


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'uniformization'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
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