"타원 내의 격자점 개수 문제"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
  
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* 타원 <math>Ax^2+Bxy+Cy^2=T</math> , <math>A>0</math>, <math>C>0</math>, <math>T>0</math>
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* 판별식 <math>\Delta=b^2-4ac</math>
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* 타원 내부의 넓이는 <math>\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}</math>
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타원 <math>Ax^2+Bxy+Cy^2=T</math> , <math>A>0</math>, <math>C>0</math>, <math>T>0</math> 의 내부에 있는 정수격자점의 개수 <math>N(T)</math>에 대하여, <math>T\to \infty</math>일 때, 다음이 성립한다.
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:<math>|N(T)-\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}| \approx O(\sqrt{T})</math>
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==예==
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* 타원 <math>5 x^2+3 x y+2 y^2=20</math> 의 경우
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* 내부의 격자점의 개수는 23, 타원의 넓이는 <math>\frac{40 \pi }{\sqrt{31}}\sim 22.5699</math>
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==관련된 항목들==
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* [[타원]]
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* [[타원의 넓이]]
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]
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==계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVGdvZ2VMZ0t5YVk/edit
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* http://mathematica.stackexchange.com/questions/16094/highlight-integer-points-in-regionplot/16105#16105
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_circle_problem
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* http://www.math.rochester.edu/undergraduate/sums/reu/2005_galante-joseph.pdf
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==관련논문==
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* Kelmer, Dubi. “Lattice Points in a Circle for Generic Unimodular Shears.” arXiv:1508.00487 [math], August 3, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.00487.
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* Kordyukov, Yuri A., and Andrey A. Yakovlev. “On a Problem of Geometry of Numbers Arising in Spectral Theory.” arXiv:1507.06279 [math], July 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06279.
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* Lagacé, Jean, and Leonid Parnovski. ‘A Generalised Gauss Circle Problem and Integrated Density of States’. arXiv:1506.07115 [math-Ph], 23 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07115.
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* Shaneson, Julius L. “Estimates on Lattice Points in the Circle.” arXiv:1409.2446 [math], September 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.2446.
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* Huxley, M. N. ‘Exponential Sums and Lattice Points III’. Proceedings of the London Mathematical Society 87, no. 3 (11 January 2003): 591–609. doi:10.1112/S0024611503014485.
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* G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283
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[[분류:정수론]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2096220 Q2096220]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'gauss'}, {'LOWER': 'circle'}, {'LEMMA': 'problem'}]

2021년 2월 17일 (수) 06:03 기준 최신판

개요

  • 타원 \(Ax^2+Bxy+Cy^2=T\) , \(A>0\), \(C>0\), \(T>0\)
  • 판별식 \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 타원 내부의 넓이는 \(\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}\)


정리

타원 \(Ax^2+Bxy+Cy^2=T\) , \(A>0\), \(C>0\), \(T>0\) 의 내부에 있는 정수격자점의 개수 \(N(T)\)에 대하여, \(T\to \infty\)일 때, 다음이 성립한다. \[|N(T)-\frac{2\pi T}{\sqrt{|\Delta|}}| \approx O(\sqrt{T})\]


예

  • 타원 \(5 x^2+3 x y+2 y^2=20\) 의 경우
  • 내부의 격자점의 개수는 23, 타원의 넓이는 \(\frac{40 \pi }{\sqrt{31}}\sim 22.5699\)

타원내의 격자점 개수 문제1.png


관련된 항목들


계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Kelmer, Dubi. “Lattice Points in a Circle for Generic Unimodular Shears.” arXiv:1508.00487 [math], August 3, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.00487.
  • Kordyukov, Yuri A., and Andrey A. Yakovlev. “On a Problem of Geometry of Numbers Arising in Spectral Theory.” arXiv:1507.06279 [math], July 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.06279.
  • Lagacé, Jean, and Leonid Parnovski. ‘A Generalised Gauss Circle Problem and Integrated Density of States’. arXiv:1506.07115 [math-Ph], 23 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07115.
  • Shaneson, Julius L. “Estimates on Lattice Points in the Circle.” arXiv:1409.2446 [math], September 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.2446.
  • Huxley, M. N. ‘Exponential Sums and Lattice Points III’. Proceedings of the London Mathematical Society 87, no. 3 (11 January 2003): 591–609. doi:10.1112/S0024611503014485.
  • G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'gauss'}, {'LOWER': 'circle'}, {'LEMMA': 'problem'}]
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