"파동 방정식"의 두 판 사이의 차이

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<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u</math>
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==개요==
  
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*  편미분방정식:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u</math>
  
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[[맥스웰 방정식|맥스웰방정식]] 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다
 
  
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<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math>
 
  
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==주요용어==
  
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* 각속도(circular frequency) <math>\omega</math>
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* 파동수 (wavenumber) <math>k</math>
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* 속도 <math>v=\omega/k</math>
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* 진폭 amplitude 파동의 높이
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* 위상
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*  dispersion relation
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** 일반적인 파동을 기술하는 편미분방정식에 대하여 wave train <math>u(x,t)=A\cos(kx-\omega t)</math> 가 미분방정식의 해가 되기 위해 만족시켜야 하는 각속도(circular frequency) <math>\omega</math>와 파동수 (wavenumber) <math>k</math>의 관계
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** 파동방정식의 경우는 <math>k=v\omega</math> 를 만족시킨다
  
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<h5>일반해</h5>
 
  
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<math>Y=f(x+at)+g(x-at)</math>. Let <math>a</math> be a constant.
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==경계조건과 초기조건==
  
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Show <math>\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}</math>.
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* 초기조건 (<math>t=0</math>)
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*  디리클레 경계조건:<math>u(t,x=0)=u(t,x=a)=0</math>
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*  노이만 경계조건:<math>u_{x}(t,x=0)=u_{x}(t,x=a)=0</math>
  
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Let <math>u=x+at</math>, <math>v=x-at</math>.
 
  
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Then <math>Y=f(u)+g(v)</math>.
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==1차원에서의 일반해==
  
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<math>\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)</math>
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* <math>\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}</math> 또는 <math>\mu\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}</math> (<math>v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}</math>)
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*  일반해는 <math>Y=f(x+vt)+g(x-vt)</math>로 주어진다
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*  f는 왼쪽, g는 오른쪽으로 이동하는 파동이며, Y는 그 중첩으로 주어진다
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(증명)
  
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Let <math>W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)</math>.
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<math>u=x+at</math>, <math>v=x-at</math>라 두자.
  
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<math>\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))</math>
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그러면 <math>Y=f(u)+g(v)</math>로 쓸 수 있다.
  
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<math>\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)</math>
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<math>W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)</math>.
  
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Now turn to the right hand side.
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<math>\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))</math>
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<math>\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)</math>
 
<math>\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)</math>
  
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Let <math>Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)</math>
+
<math>Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)</math>
  
 
<math>\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)</math>
 
<math>\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)</math>
  
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따라서
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<math>\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))</math>■
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==변수분리==
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*  정상파:<math>u(x,t)=X(x)T(t)</math> 꼴로 표현되는 파동방정식의 해
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*  경계조건 (양 끝점의 위치는 고정) <math> t>0</math> 일 때, <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math> 이 주어질때, 정상파의 해는 다음과 같다:<math>u_n(x,t)=[A\cos(\frac{n\pi v t}{L})+B\sin(\frac{n\pi v t}{L})]\sin (\frac{n\pi x}{L})</math>
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(증명)
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<math>X''(x)=-\frac{\lambda_{n}^2}{v^2}X(x)</math>
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<math>T''(t)=-\lambda_{n}^2T(t)</math>
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여기서 <math>\lambda_{n}=\frac{n\pi v}{L}, n\in \mathbb{Z}</math>
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<math>u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}</math> ■
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*  초기조건 (<math>t=0</math>) 위치 <math>u(x,0)=f(x)</math> 속도 <math>u_t(x,0)=g(x)</math>
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*  위와 같은 초기조건이 주어지는 경우, 파동방정식의 해는 [[푸리에 급수]] 를 사용하여 해를 표현할 수 있다
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*  정상파 http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave
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==평면파==
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* <math>u(\mathbf{x},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}</math>
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==맥스웰방정식==
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* [[맥스웰 방정식|맥스웰방정식]] 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다:<math> \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}</math>
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===로렌츠 불변성===
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* 파동방정식 <math>\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math> 은 [[로렌츠 변환과 로렌츠 군|로렌츠 변환]]에 대하여 불변이다.
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* 즉 <math>\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math> 이면, <math>\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u' \over \partial t'^2 } = { \partial^2 u' \over \partial x'^2 } </math> 이 성립한다. 여기서 :<math>\left( \begin{array}{c}  x' \\  c t' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc}  \cosh (\epsilon ) & \sinh (\epsilon ) \\  \sinh (\epsilon ) & \cosh (\epsilon ) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c}  x \\  c t \end{array} \right), \quad u'(x',t')=u(x,t)</math>
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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*  슈뢰딩거 방정식 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html#c1
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*  2차원 파동방정식 [http://twitter.com/#%21/mathematicsprof/status/122814424959557632 http://twitter.com/#!/mathematicsprof/status/122814424959557632]
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==관련된 항목들==
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* [[열방정식]]
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* [[푸리에 급수]]
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* [[로렌츠 변환과 로렌츠 군]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNTU5ZjE0NDQtZDVlOS00MTM4LTkxMWYtYzgwNDE2ZDdjN2E0&sort=name&layout=list&num=50
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Therefore 
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_wave
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave
  
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<math>\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))</math>
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q123300 Q123300]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'standing'}, {'LEMMA': 'wave'}]
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* [{'LOWER': 'stationary'}, {'LEMMA': 'wave'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:04 기준 최신판

개요

  • 편미분방정식\[{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u\]


주요용어

  • 각속도(circular frequency) \(\omega\)
  • 파동수 (wavenumber) \(k\)
  • 속도 \(v=\omega/k\)
  • 진폭 amplitude 파동의 높이
  • 위상
  • dispersion relation
    • 일반적인 파동을 기술하는 편미분방정식에 대하여 wave train \(u(x,t)=A\cos(kx-\omega t)\) 가 미분방정식의 해가 되기 위해 만족시켜야 하는 각속도(circular frequency) \(\omega\)와 파동수 (wavenumber) \(k\)의 관계
    • 파동방정식의 경우는 \(k=v\omega\) 를 만족시킨다


경계조건과 초기조건

  • 초기조건 (\(t=0\))
  • 디리클레 경계조건\[u(t,x=0)=u(t,x=a)=0\]
  • 노이만 경계조건\[u_{x}(t,x=0)=u_{x}(t,x=a)=0\]


1차원에서의 일반해

  • \(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\) 또는 \(\mu\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}\) (\(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\))
  • 일반해는 \(Y=f(x+vt)+g(x-vt)\)로 주어진다
  • f는 왼쪽, g는 오른쪽으로 이동하는 파동이며, Y는 그 중첩으로 주어진다


(증명)

\(u=x+at\), \(v=x-at\)라 두자.

그러면 \(Y=f(u)+g(v)\)로 쓸 수 있다.

\(\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)\) \(W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)\).

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))\)


\(\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)

\(Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)\)

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)\)


따라서

\(\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))\)■



변수분리

  • 정상파\[u(x,t)=X(x)T(t)\] 꼴로 표현되는 파동방정식의 해
  • 경계조건 (양 끝점의 위치는 고정) \( t>0\) 일 때, \(u(0,t)=u(L,t)=0\) 이 주어질때, 정상파의 해는 다음과 같다\[u_n(x,t)=[A\cos(\frac{n\pi v t}{L})+B\sin(\frac{n\pi v t}{L})]\sin (\frac{n\pi x}{L})\]

(증명)

\(X''(x)=-\frac{\lambda_{n}^2}{v^2}X(x)\)


\(T''(t)=-\lambda_{n}^2T(t)\)


여기서 \(\lambda_{n}=\frac{n\pi v}{L}, n\in \mathbb{Z}\)


\(u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}\) ■



평면파

  • \(u(\mathbf{x},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}\)



맥스웰방정식

  • 맥스웰방정식 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다\[ \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\]

로렌츠 불변성

  • 파동방정식 \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } \) 은 로렌츠 변환에 대하여 불변이다.
  • 즉 \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } \) 이면, \(\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u' \over \partial t'^2 } = { \partial^2 u' \over \partial x'^2 } \) 이 성립한다. 여기서 \[\left( \begin{array}{c} x' \\ c t' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \cosh (\epsilon ) & \sinh (\epsilon ) \\ \sinh (\epsilon ) & \cosh (\epsilon ) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ c t \end{array} \right), \quad u'(x',t')=u(x,t)\]


역사


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'standing'}, {'LEMMA': 'wave'}]
  • [{'LOWER': 'stationary'}, {'LEMMA': 'wave'}]
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