피보나치 수열

개요

• 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
• 앞에 있는 두 수를 더하여, 다음의 수를 얻는다
• 점화식을 이용한 정의

\[F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, \\ F_0=1,F_1=1\]

• 상수계수 선형점화식의 예이다
• 루카스 수열의 예이다
• 인접한 두 수열의 비는 황금비로 수렴

\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\]

피보나치 수열의 일반항

• 생성함수를 이용하여 얻을 수 있다

정리

피보나치 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다 \[s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=\frac{1}{1-x-x^2}\label{s}\]

증명

점화식을 이용하여 다음을 얻는다 \[\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= 1+ x + x(\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k-1) + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= 1+ x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\]

따름정리

피보나치수열의 일반항은 다음과 같다 \[ F_n= \frac{\left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}}{\sqrt{5}} \]

\ref{s}의 우변을 부분분수로 분해하여 쓰면 된다.

여러가지 성질들

• \(F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n-1}\)
• 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\varphi-1\] \[\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n-1}}{F_n^2})=\varphi\]

• \(\gcd(F_m,F_n)=F_{\gcd(m,n)}\)에 대해서는 피보나치 수열의 나눗셈 성질 항목 참조
• 피보나치 수열을 자연수 n으로 나눈 나머지로 정의된 수열은 주기성을 가진다
  • 피보나치 수열과 합동식 항목 참조

황금비와 피보나치 수열

자연과 피보나치 수열

[1]

• 피보나치 귀걸이

메모

• 
• http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html
• Phyllotaxis
• Kotesovec, Vaclav. “Asymptotics of the Euler Transform of Fibonacci Numbers.” arXiv:1508.01796 [math], August 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01796.

관련된 항목들

• 피보나치 수열의 짝수항

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYTBlNHdVdFdDZEk/edit