"하이젠베르크 군과 대수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 16개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | * [[양자 조화진동자]] | + | * [[양자 조화진동자]]:<math>[X,P] = X P - P X = i \hbar</math> |
| 9번째 줄: | 9번째 줄: | ||
==유한차원 하이젠베르크 대수== | ==유한차원 하이젠베르크 대수== | ||
| − | * 가환 리대수의 1차원 중심 확대(central extension) | + | * 가환 리대수의 1차원 중심 확대(central extension) |
| − | * <math>[p_i, q_j] = \delta_{ij}z</math | + | * <math>[p_i, q_j] = \delta_{ij}z</math> |
| − | * <math>[p_i, z] = 0</math | + | * <math>[p_i, z] = 0</math> |
| − | * <math>[q_j, z] = 0</math | + | * <math>[q_j, z] = 0</math> |
| − | == | + | ==3차원 하이젠베르크 군과 대수의 예== |
| + | ===하이젠베르크 대수=== | ||
* 위삼각행렬(upper triangular matrix) <math>\left( | * 위삼각행렬(upper triangular matrix) <math>\left( | ||
\begin{array}{ccc} | \begin{array}{ccc} | ||
| 23번째 줄: | 24번째 줄: | ||
0 & 0 & 0 | 0 & 0 & 0 | ||
\end{array} | \end{array} | ||
| − | \right)</math>를 3차원 하이젠베르크 | + | \right)</math>를 3차원 하이젠베르크 대수 <math>\mathfrak{h}</math>의 원소<math>(p,q,c)=pP+qQ+cC</math>로 이해할 수 있다 |
| − | * 다음과 같은 교환 관계식을 만족한다 | + | * 다음과 같은 교환 관계식을 만족한다:<math>[\left( |
\begin{array}{ccc} | \begin{array}{ccc} | ||
0 & p & c \\ | 0 & p & c \\ | ||
| 43번째 줄: | 44번째 줄: | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\right)</math> | \right)</math> | ||
| − | |||
| − | + | ===하이젠베르크 군=== | |
| + | * 지수함수를 이용하여, 하이젠베르크 군 <math>\mathbb{H}</math>을 정의할 수 있다 | ||
| + | :<math>\exp:\mathfrak{h} \to \mathbb{H}</math> | ||
| + | * <math>\mathbb{H}</math>의 원소는 다음과 같은 형태로 주어진다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \exp(pP+qQ+cC)=\exp \begin{pmatrix} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =\left( | ||
| + | \begin{array}{ccc} | ||
| + | 1 & p & c+\frac{p q}{2} \\ | ||
| + | 0 & 1 & q \\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \right) | ||
| + | </math> | ||
| + | * <math>\mathbb{H}</math>의 원소를 <math>(p,q,c)\in \mathfrak{h}</math>로 나타내면, <math>\mathbb{H}</math>에서의 곱셈은 다음과 같이 주어진다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | (p,q,c)(p',q',c')=(p+p',q+q',c+c'+\frac{1}{2}(pq'-qp')) | ||
| + | </math> | ||
| + | * 이는 [[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]을 이용하여 얻을 수 있다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+\frac{1}{2}[A,B]) | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | ===자기동형군=== | ||
| + | * 겹선형형식 <math>(pq'-qp')</math>를 보존하는 <math>A:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2}</math>는 자기동형군의 원소가 된다 | ||
| + | * 즉 크기가 2인 [[사교 행렬]]은 하이젠베르크 군의 자기동형군의 원소이다 | ||
| − | |||
==역사== | ==역사== | ||
| 54번째 줄: | 77번째 줄: | ||
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
| 61번째 줄: | 84번째 줄: | ||
==메모== | ==메모== | ||
| − | + | * http://djalil.chafai.net/blog/2011/10/08/aspects-of-the-heisenberg-group/ | |
* spin vs metaplectic | * spin vs metaplectic | ||
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q= | ||
| 71번째 줄: | 94번째 줄: | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
* [[클리포드 대수와 스피너]] | * [[클리포드 대수와 스피너]] | ||
| − | + | * [[양자 바일 대수와 양자평면]] | |
| − | |||
==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
| − | + | * {{학술용어집|url=central}} | |
| − | * | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
** central extension 중심 확대 | ** central extension 중심 확대 | ||
| − | * | + | * {{학술용어집|url=bilinear}} |
| − | * | + | ** bilinear form 겹선형형식 |
| − | * | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| − | * | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxajRGcXZ6clJTQ2M/edit |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==사전 형태의 자료== | ==사전 형태의 자료== | ||
| 118번째 줄: | 119번째 줄: | ||
| − | |||
==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | ||
| − | * [http://www.math.columbia.edu/%7Ewoit/notes20.pdf The Heisenberg Algebra] | + | * Peter Woit의 강의 노트 |
| − | * [http://www.math.columbia.edu/%7Ewoit/notes21.pdf The Metaplectic Representation] | + | ** [http://www.math.columbia.edu/%7Ewoit/notes20.pdf The Heisenberg Algebra] |
| − | + | ** [http://www.math.columbia.edu/%7Ewoit/notes21.pdf The Metaplectic Representation] | |
| − | + | [[분류:리군과 리대수]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
2020년 11월 13일 (금) 21:49 기준 최신판
개요
- 양자 조화진동자\[[X,P] = X P - P X = i \hbar\]
유한차원 하이젠베르크 대수
- 가환 리대수의 1차원 중심 확대(central extension)
- \([p_i, q_j] = \delta_{ij}z\)
- \([p_i, z] = 0\)
- \([q_j, z] = 0\)
3차원 하이젠베르크 군과 대수의 예
하이젠베르크 대수
- 위삼각행렬(upper triangular matrix) \(\left( \begin{array}{ccc} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)를 3차원 하이젠베르크 대수 \(\mathfrak{h}\)의 원소\((p,q,c)=pP+qQ+cC\)로 이해할 수 있다
- 다음과 같은 교환 관계식을 만족한다\[[\left( \begin{array}{ccc} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc} 0 & p' & c' \\ 0 & 0 & q' \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)]=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & p q'-q p' \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]
하이젠베르크 군
- 지수함수를 이용하여, 하이젠베르크 군 \(\mathbb{H}\)을 정의할 수 있다
\[\exp:\mathfrak{h} \to \mathbb{H}\]
- \(\mathbb{H}\)의 원소는 다음과 같은 형태로 주어진다
\[ \exp(pP+qQ+cC)=\exp \begin{pmatrix} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & p & c+\frac{p q}{2} \\ 0 & 1 & q \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]
- \(\mathbb{H}\)의 원소를 \((p,q,c)\in \mathfrak{h}\)로 나타내면, \(\mathbb{H}\)에서의 곱셈은 다음과 같이 주어진다
\[ (p,q,c)(p',q',c')=(p+p',q+q',c+c'+\frac{1}{2}(pq'-qp')) \]
- 이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식을 이용하여 얻을 수 있다
\[ \exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+\frac{1}{2}[A,B]) \]
자기동형군
- 겹선형형식 \((pq'-qp')\)를 보존하는 \(A:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2}\)는 자기동형군의 원소가 된다
- 즉 크기가 2인 사교 행렬은 하이젠베르크 군의 자기동형군의 원소이다
역사
메모
- http://djalil.chafai.net/blog/2011/10/08/aspects-of-the-heisenberg-group/
- spin vs metaplectic
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Peter Woit의 강의 노트