"리만 곡면 위의 계량 텐서"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 16개는 보이지 않습니다) | |||
| 6번째 줄: | 6번째 줄: | ||
:<math>4\frac{\partial}{\partial z} | :<math>4\frac{\partial}{\partial z} | ||
\frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z})</math> | \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z})</math> | ||
| + | * [[라플라시안(Laplacian)]] 연산자 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \Delta=4\frac{\partial}{\partial z} | ||
| + | \frac{\partial}{\partial \overline{z}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} | ||
| + | </math> | ||
| − | == | + | |
| − | * | + | ==푸앵카레 상반평면 모델== |
| − | * | + | * [[푸앵카레 상반평면 모델]] |
| + | * 리만 메트릭:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}</math> | ||
| + | * 포텐셜 <math>\Phi(z,\overline{z})=-\log y=-\log \frac{z-\overline{z}}{2i}</math> | ||
| + | |||
==Fubini-Study metric== | ==Fubini-Study metric== | ||
* <math>\Omega</math> : curvature form | * <math>\Omega</math> : curvature form | ||
| − | * Chern class | + | * Chern class:<math>\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k</math> |
* <math>c_k(V)=P^{i}\left(\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\right)\in H^{2i}(M,\mathbb{Z})</math> | * <math>c_k(V)=P^{i}\left(\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\right)\in H^{2i}(M,\mathbb{Z})</math> | ||
| − | * Chern class of line bundles on complex projective line | + | * Chern class of line bundles on the complex projective line |
| − | * | + | * V = <math>T\mathbb{C}P^1</math> : the complex tangent bundle of the complex projective line |
| − | * | + | * Kahler metric:<math>g=\frac{dz\otimes d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}</math> |
| − | * Curvature form | + | * 포텐셜 <math>\log (1+|z|^2)=\log (1+z\bar{z})</math>:<math>\partial \bar\partial \log (1+|z|^2)=\frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}</math> |
| + | * Curvature form:<math>\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}</math> | ||
* <math>c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega</math> | * <math>c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega</math> | ||
| − | * | + | * <math>c_1(V) \not= 0</math> 의 증명 (V 가 trivial vector bundle이 아님을 알 수 있다):<math>\int c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\int \frac{2 dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\left(\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\infty} \frac{-4\sqrt{-1}r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr d\theta \right)=4\left(\int_0^{\infty } \frac{r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr\right)=2</math> |
| + | * [[입체사영 (stereographic projection)]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==line bundle 에 정의된 에르미트 metric == | ||
| + | * X : 리만 곡면 | ||
| + | * holomorphic line bundle <math>H\to X</math> 에 대한 에르미트 metric <math>e^{-\phi}</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==메모== | ||
| + | * Kähler 다양체 | ||
| + | |||
==사전 형태의 자료== | ==사전 형태의 자료== | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_metric | * http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_metric | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Kähler_manifold | * http://en.wikipedia.org/wiki/Kähler_manifold | ||
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class | ||
| + | [[분류:리만곡면론]] | ||
| + | |||
| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q377798 Q377798] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'poincaré'}, {'LEMMA': 'metric'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'poincare'}, {'LEMMA': 'metric'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 02:30 기준 최신판
개요
- 리만 곡면에 주어진 메트릭의 국소적 표현
\[ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dz\,d\overline{z}\] 여기서 λ는 양의 값을 갖는 \(z\)와 \(\overline{z}\)의 함수.
- 메트릭의 포텐셜 \(\Phi(z,\overline{z})\)
\[4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z})\]
- 라플라시안(Laplacian) 연산자
\[ \Delta=4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} \]
푸앵카레 상반평면 모델
- 푸앵카레 상반평면 모델
- 리만 메트릭\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\]
- 포텐셜 \(\Phi(z,\overline{z})=-\log y=-\log \frac{z-\overline{z}}{2i}\)
Fubini-Study metric
- \(\Omega\) : curvature form
- Chern class\[\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k\]
- \(c_k(V)=P^{i}\left(\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\right)\in H^{2i}(M,\mathbb{Z})\)
- Chern class of line bundles on the complex projective line
- V = \(T\mathbb{C}P^1\) : the complex tangent bundle of the complex projective line
- Kahler metric\[g=\frac{dz\otimes d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
- 포텐셜 \(\log (1+|z|^2)=\log (1+z\bar{z})\)\[\partial \bar\partial \log (1+|z|^2)=\frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
- Curvature form\[\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
- \(c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\)
- \(c_1(V) \not= 0\) 의 증명 (V 가 trivial vector bundle이 아님을 알 수 있다)\[\int c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\int \frac{2 dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\left(\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\infty} \frac{-4\sqrt{-1}r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr d\theta \right)=4\left(\int_0^{\infty } \frac{r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr\right)=2\]
- 입체사영 (stereographic projection)
line bundle 에 정의된 에르미트 metric
- X : 리만 곡면
- holomorphic line bundle \(H\to X\) 에 대한 에르미트 metric \(e^{-\phi}\)
메모
- Kähler 다양체
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_metric
- http://en.wikipedia.org/wiki/Kähler_manifold
- http://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class
메타데이터
위키데이터
- ID : Q377798
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'poincaré'}, {'LEMMA': 'metric'}]
- [{'LOWER': 'poincare'}, {'LEMMA': 'metric'}]