"베르누이 다항식"의 두 판 사이의 차이

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* [[베르누이 다항식]]
 
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==개요==
 
==개요==
  
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* 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의
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* 베르누이 다항식 <math>B_n(x)</math>의 생성함수는 다음과 같이 정의
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:<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
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<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
 
  
 
* 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐
 
* 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐
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:<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
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여기서 <math>B_k</math> 는 [[베르누이 수]]
  
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<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
 
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여기서 <math>B_k</math> 는 베르누이 수
 
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==베르누이수와 베르누이 다항식==
 
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* <math>B_n(0)=B_n</math><br>
 
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* 처음 몇 베르누이 다항식
 
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<math>B_1(x)=x-1/2</math>
 
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<math>B_2(x)=x^2-x+1/6</math>
 
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<math>B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x</math>
 
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<math>B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}</math>
 
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<math>B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x</math>
 
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<math>B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}</math>
 
  
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베르누이 다항식 <math>B_k (x) </math> 는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)
 
  
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<math>\frac{d }{dt}B_k (x) = B_{k-1} (x)</math>
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==여러가지 성질==
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* 베르누이 수 <math>B_n(0)=B_n</math>
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* 다음을 만족한다 (점화 관계)
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:<math>\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)</math>
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* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)]]에서 유용한 결과로 다음 등식이 성립한다
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:<math>\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}</math>
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* 곱셈공식
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:<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math>
  
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==곱셈공식==
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==테이블==
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\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
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  & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\
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\hline
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0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
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1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
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2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
 +
3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\
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4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\
 +
5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\
 +
6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\
 +
7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\
 +
8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\
 +
9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\
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\end{array}
  
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<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math>
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==L-함수와의 관계==
 
==L-함수와의 관계==
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* [[디리클레 L-함수]] <math>n\geq 1</math> 일 때, :<math>L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})</math>
 
* [[디리클레 L-함수]] <math>n\geq 1</math> 일 때, :<math>L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})</math>
  
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==재미있는 사실==
 
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==역사==
 
==역사==
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
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==관련된 다른 주제들==
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==관련된 항목들==
 
* [[베르누이 수]]
 
* [[베르누이 수]]
 
* [[원분체 (cyclotomic field)]]
 
* [[원분체 (cyclotomic field)]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUmVreE9aekRfMEU/edit
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* [http://archive.org/details/jresv44n1p103 Table of Modified Bernoulli Polynomials]
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==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
 +
* {{학술용어집|url=modified}}
  
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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==사전 형태의 자료==
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==사전 형태의 자료==
  
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A0%EB%A5%B4%EB%88%84%EC%9D%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/베르누이_다항식]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A0%EB%A5%B4%EB%88%84%EC%9D%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/베르누이_다항식]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
  
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==관련논문==
 
==관련논문==
 +
* Qi, Feng. “Two Closed Forms for the Bernoulli Polynomials.” arXiv:1506.02137 [math], June 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02137.
  
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
+
==메타데이터==
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===위키데이터===
−
 
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2346201 Q2346201]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]
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*  도서검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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==블로그==
 
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2021년 2월 17일 (수) 04:44 기준 최신판

개요

  • 베르누이 다항식 \(B_n(x)\)의 생성함수는 다음과 같이 정의

\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

  • 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐

\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\] 여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수


여러가지 성질

  • 베르누이 수 \(B_n(0)=B_n\)
  • 다음을 만족한다 (점화 관계)

\[\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)\]

\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\]

  • 곱셈공식

\[B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)\]



테이블

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\ \end{array}


L-함수와의 관계

  • 디리클레 L-함수 \(n\geq 1\) 일 때, \[L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})\]



역사



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • modified - 대한수학회 수학용어집



사전 형태의 자료


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]
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