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==개요==
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* 힐베르트 부호 또는 힐베르트 norm residue 부호로 불리기도 함
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* local field 위에서의 이차형식을 공부하는데 중요한 도구
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==유리수 체에서의 힐베르트 부호==
 
==유리수 체에서의 힐베르트 부호==
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* $p=\infty$ 일 때,
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* 홀수인 소수 p에 대하여, <math>a = p^{\alpha} u</math> and <math>b = p^{\beta} v</math>이면
 
* 홀수인 소수 p에 대하여, <math>a = p^{\alpha} u</math> and <math>b = p^{\beta} v</math>이면
 
:<math>(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha</math> 여기서 <math>\epsilon(p) = (p-1)/2</math>
 
:<math>(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha</math> 여기서 <math>\epsilon(p) = (p-1)/2</math>
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* $p=2$일 경우, <math>a = 2^\alpha u</math>, <math>b = 2^\beta v</math>라 두면
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* <math>p=2</math>일 경우, <math>a = 2^\alpha u</math>, <math>b = 2^\beta v</math>라 두면
 
:<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}</math> 여기서 <math>\omega(x) = (x^2-1)/8</math>.
 
:<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}</math> 여기서 <math>\omega(x) = (x^2-1)/8</math>.
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* 상호법칙
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===상호법칙===
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:<math>\prod_v (a,b)_v = 1</math>
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* 유한개의 <math>p</math>에 대해서만 <math>(a,b)_p =-1</math> 이 된다
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* 다음이 성립한다
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:<math>\prod_p (a,b)_p = 1</math>
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* [[이차잉여의 상호법칙]]
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===예===
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p & (7,11)_p & (2,5)_p \\
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxLXgzS0JUejJ6V00/edit
  
  
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Steinberg_symbol
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Steinberg_symbol
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_symbol
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_symbol
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[[분류:정수론]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7606831 Q7606831]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'steinberg'}, {'LEMMA': 'symbol'}]

2021년 2월 17일 (수) 02:27 기준 최신판

개요

  • 힐베르트 부호 또는 힐베르트 norm residue 부호로 불리기도 함
  • local field 위에서의 이차형식을 공부하는데 중요한 도구


정의

  • K : local field

\[(a,b)=\begin{cases}1,&\mbox{ if }z^2=ax^2+by^2\mbox{ has a non-zero solution }(x,y,z)\in K^3;\\-1,&\mbox{ if not.}\end{cases}\]


성질

  • 다음을 만족한다

\[(u^2,v)=1\] \[(u,v)=(v,u)\] \[(u_1u_2,v)=(u_1,v)(u_2,v)\] \[(u,1-u)=1\]


유리수 체에서의 힐베르트 부호

  • \(\mathbb{Q}^{\times}/(\mathbb{Q}^{\times})^2\)의 구조를 알면 쉽게 계산할 수 있다

p에 대한 힐베르트 부호

  • \(p=\infty\) 일 때,

\[(a,b)_{\infty}= \begin{cases} 1,&\mbox{ if }a>0 \mbox{ or } b>0 \\ -1,& \mbox{ if }a<0 \mbox{ and } b<0 \end{cases} \]

  • 홀수인 소수 p에 대하여, \(a = p^{\alpha} u\) and \(b = p^{\beta} v\)이면

\[(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha\] 여기서 \(\epsilon(p) = (p-1)/2\)

  • \(p=2\)일 경우, \(a = 2^\alpha u\), \(b = 2^\beta v\)라 두면

\[(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}\] 여기서 \(\omega(x) = (x^2-1)/8\).

상호법칙

  • 유한개의 \(p\)에 대해서만 \((a,b)_p =-1\) 이 된다
  • 다음이 성립한다

\[\prod_p (a,b)_p = 1\]


예

\begin{array}{c|c|c} p & (7,11)_p & (2,5)_p \\ \infty & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & -1 \\ 7 & 1 & 1 \\ 11 & -1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \\ 17 & 1 & 1 \\ 19 & 1 & 1 \\ 23 & 1 & 1 \\ 29 & 1 & 1 \\ 31 & 1 & 1 \\ 37 & 1 & 1 \\ 41 & 1 & 1 \\ 43 & 1 & 1 \\ 47 & 1 & 1 \\ \vdots & 1 & 1 \\ \end{array}


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'steinberg'}, {'LEMMA': 'symbol'}]
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