"거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙"의 두 판 사이의 차이
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| − | * | + | * <math>n\geq 2</math> : 자연수 |
| − | * | + | * <math>K</math> : <math>n</math>의 단위근 <math>\zeta_n</math>이 속해 있는 수체 |
| − | * <math>\mathcal{O}_K</math> : | + | * <math>\mathcal{O}_K</math> : <math>K</math>의 정수환, <math>\zeta_n\in\mathcal{O}_K</math> |
| − | * <math>\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K </math> : | + | * <math>\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K </math> : <math>n \not \in \mathfrak{p}</math>을 만족하는 prime 아이디얼 |
| − | * | + | * <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|</math> |
| − | ** | + | ** <math>\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}</math>은 [[유한체 (finite field)]]이므로, 소수 <math>p</math>와 적당한 <math>f\in \mathbb{Z}</math>에 대하여, <math>\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f</math> |
| − | ** | + | ** <math>\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}</math>으로 생성되는 부분군의 크기는 <math>\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1</math>을 나눈다 |
** 따라서 <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}</math>을 만족한다 | ** 따라서 <math>\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}</math>을 만족한다 | ||
* (페르마의 소정리) <math>\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},</math>에 대하여 다음이 성립한다 | * (페르마의 소정리) <math>\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},</math>에 대하여 다음이 성립한다 | ||
| − | + | :<math> | |
\alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. | \alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. | ||
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| − | * 다음을 만족하는 유일한 | + | * 다음을 만족하는 유일한 <math>s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})</math>가 존재한다 |
| − | + | :<math> | |
\alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}} | \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}} | ||
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===정의=== | ===정의=== | ||
| − | * 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상 | + | * 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상 <math>\left(\frac{\cdot}{\mathfrak{p} }\right)_n : K_{\mathfrak{p}} \to \langle \zeta_n \rangle</math>을 다음과 같이 정의 |
| − | + | :<math> | |
\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s | \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s | ||
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| − | 여기서 | + | 여기서 <math>\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}</math> |
| − | * | + | * <math>n</math>과 서로 소인 아이디얼 <math>\mathfrak{b}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}</math>에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의 |
| − | + | :<math> | |
\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{b}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}} | \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{b}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}} | ||
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==상호법칙== | ==상호법칙== | ||
;정리 | ;정리 | ||
| − | + | <math>\alpha,\beta\in K^{\times}</math>가 서로 소이고, <math>n</math>과도 서로 소라 하자. 다음이 성립한다 | |
| − | :<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right | + | :<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n</math> |
| − | 여기서 | + | 여기서 <math>\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n</math>는 [[힐베르트 부호]], <math>\infty</math>는 <math>K</math>의 real infinite prime들의 곱 (<math>n=2</math>인 경우에만 등장) |
2020년 11월 16일 (월) 05:19 기준 최신판
개요
- 대수적 수론의 주요 정리
- 이차잉여의 상호법칙, 3차 상호법칙을 포괄하는 상호법칙
거듭제곱 잉여 부호
- 힐베르트 부호의 특별한 경우로 이해할 수 있다
기호
- \(n\geq 2\) : 자연수
- \(K\) \[n\]의 단위근 \(\zeta_n\)이 속해 있는 수체
- \(\mathcal{O}_K\) \[K\]의 정수환, \(\zeta_n\in\mathcal{O}_K\)
- \(\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K \) \[n \not \in \mathfrak{p}\]을 만족하는 prime 아이디얼
- \(\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|\)
- \(\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}\)은 유한체 (finite field)이므로, 소수 \(p\)와 적당한 \(f\in \mathbb{Z}\)에 대하여, \(\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f\)
- \(\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}\)으로 생성되는 부분군의 크기는 \(\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1\)을 나눈다
- 따라서 \(\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}\)을 만족한다
- (페르마의 소정리) \(\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},\)에 대하여 다음이 성립한다
\[ \alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. \]
- 다음을 만족하는 유일한 \(s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\)가 존재한다
\[ \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}} \]
정의
- 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상 \(\left(\frac{\cdot}{\mathfrak{p} }\right)_n : K_{\mathfrak{p}} \to \langle \zeta_n \rangle\)을 다음과 같이 정의
\[ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s \] 여기서 \(\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}\)
- \(n\)과 서로 소인 아이디얼 \(\mathfrak{b}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}\)에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의
\[ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{b}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}} \]
상호법칙
- 정리
\(\alpha,\beta\in K^{\times}\)가 서로 소이고, \(n\)과도 서로 소라 하자. 다음이 성립한다 \[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_n \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_n^{-1}=\prod_{\mathfrak{p}|n\infty}\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n\] 여기서 \(\left(\frac{\alpha,\beta}{\mathfrak{p}}\right)_n\)는 힐베르트 부호, \(\infty\)는 \(K\)의 real infinite prime들의 곱 (\(n=2\)인 경우에만 등장)