"동차다항식(Homogeneous polynomial)"의 두 판 사이의 차이
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* [[중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)]] | * [[중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)]] | ||
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| − | * | + | * <math>n=3</math>이고 차수 <math>d=4</math>인 동차다항식이 이루는 15차원 벡터공간의 기저 |
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\left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\} | \left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\} | ||
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==오일러 항등식== | ==오일러 항등식== | ||
| − | * 차수가 | + | * 차수가 <math>d</math>인 <math>n</math>변수 동차다항식 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다 |
:<math>\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f</math> | :<math>\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f</math> | ||
| − | * 예를 들어 차수가 | + | * 예를 들어 차수가 <math>d</math>인 3변수 동차다항식 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다 |
:<math>x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)</math> | :<math>x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)</math> | ||
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==조화다항식== | ==조화다항식== | ||
| − | * <math>P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]</math> 차수가 | + | * <math>P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]</math> 차수가 <math>d</math>인 동차다항식이 이루는 벡터공간 |
* [[라플라시안(Laplacian)]] <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의 | * [[라플라시안(Laplacian)]] <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의 | ||
:<math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math> | :<math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math> | ||
| − | * <math>H^{(d)}:=\ker \Delta </math>의 원소를 | + | * <math>H^{(d)}:=\ker \Delta </math>의 원소를 <math>d</math>차 조화다항식이라 한다 |
* [[조화다항식(harmonic polynomial)]] 항목 참조 | * [[조화다항식(harmonic polynomial)]] 항목 참조 | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:13 기준 최신판
개요
- 변수의 개수가 \(n\)이고, 차수가 \(d\)인 동차다항식이 이루는 벡터공간의 차원은 \(_n H_d= {n+d-1\choose d}\)이다
- 중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)
예
- \(n=3\)이고 차수 \(d=4\)인 동차다항식이 이루는 15차원 벡터공간의 기저
\[ \left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\} \]
오일러 항등식
- 차수가 \(d\)인 \(n\)변수 동차다항식 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다
\[\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f\]
- 예를 들어 차수가 \(d\)인 3변수 동차다항식 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다
\[x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)\]
조화다항식
- \(P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]\) 차수가 \(d\)인 동차다항식이 이루는 벡터공간
- 라플라시안(Laplacian) \(\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}\)를 다음과 같이 정의
\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]
- \(H^{(d)}:=\ker \Delta \)의 원소를 \(d\)차 조화다항식이라 한다
- 조화다항식(harmonic polynomial) 항목 참조
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들