"하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 베테 안싸쯔 방정식"의 두 판 사이의 차이
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| − | * [[하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)]]의 해밀토니안 | + | * [[하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)]]의 해밀토니안 :<math>H = \sum_{n=1}^{N-1}H_{n,n+1}+H_{N,1}\label{ham}</math> 여기서 <math>H_{i,j}</math> 는 two-site 해밀토니안으로 다음과 같이 정의됨 |
| − | + | :<math>H_{i,j}=\frac{J}{4}(\sigma_i^x \sigma_{j}^x +\sigma_i^y \sigma_{j}^y + \sigma_i^z \sigma_{j}^z-I^{\otimes N})=\frac{J}{2}(P_{ij}-I^{\otimes N})</math> | |
| − | + | <math>P_{ij}</math>는 치환연산자 | |
===베테 안싸쯔 방정식=== | ===베테 안싸쯔 방정식=== | ||
* 다음의 방정식을 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 베테 안싸쯔 방정식이라 한다 | * 다음의 방정식을 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 베테 안싸쯔 방정식이라 한다 | ||
| − | + | :<math>\begin{eqnarray}\label{bae} | |
\left( {\lambda_{\alpha} + {i\over 2} | \left( {\lambda_{\alpha} + {i\over 2} | ||
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\lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i } | \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i } | ||
\,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, M \,. | \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, M \,. | ||
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* 베테안싸쯔 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다 | * 베테안싸쯔 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다 | ||
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\exp(ik_jN)\prod_{i \neq j}^{M}S(\lambda_j,\lambda_i)=1 | \exp(ik_jN)\prod_{i \neq j}^{M}S(\lambda_j,\lambda_i)=1 | ||
\,, \qquad j = 1 \,, \cdots \,, M \,. | \,, \qquad j = 1 \,, \cdots \,, M \,. | ||
| − | + | </math> 여기서 <math>e^{i k_j}=\frac{\lambda_j+i/2}{\lambda_j-i/2}</math> 또는 <math>\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2}</math> 그리고 | |
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S(v,u)=\frac{u-v-i}{u-v+i}. | S(v,u)=\frac{u-v-i}{u-v+i}. | ||
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* 베테안싸쯔 방정식 \ref{bae}의 해를 베테 해(Bethe roots)라 부르며, 각각의 베테 해로부터 해밀토니안 \ref{ham}의 고유벡터를 얻게 된다 | * 베테안싸쯔 방정식 \ref{bae}의 해를 베테 해(Bethe roots)라 부르며, 각각의 베테 해로부터 해밀토니안 \ref{ham}의 고유벡터를 얻게 된다 | ||
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** [http://msstp.org/sites/default/files/Day%202%20-%20Exercise-%20Numerical%20solution%20of%20Bethe%20equations.pdf Day 2 - Exercise- Numerical solution of Bethe equations.pdf] | ** [http://msstp.org/sites/default/files/Day%202%20-%20Exercise-%20Numerical%20solution%20of%20Bethe%20equations.pdf Day 2 - Exercise- Numerical solution of Bethe equations.pdf] | ||
** [http://msstp.org/sites/default/files/Day%202%20-%20Solution%20-%20Numerical%20Solution%20of%20Bethe%20Ansatz%20.nb Day 2 - Solution - Numerical Solution of Bethe Ansatz .nb] | ** [http://msstp.org/sites/default/files/Day%202%20-%20Solution%20-%20Numerical%20Solution%20of%20Bethe%20Ansatz%20.nb Day 2 - Solution - Numerical Solution of Bethe Ansatz .nb] | ||
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| + | ==관련논문== | ||
| + | * Kirillov, Anatol N., and Reiho Sakamoto. “Bethe’s Quantum Numbers And Rigged Configurations.” arXiv:1509.02305 [math-Ph], September 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.02305. | ||
| + | * Deguchi, Tetsuo, and Pulak Ranjan Giri. “Exact Quantum Numbers of Collapsed and Non-Collapsed 2-String Solutions in the Heisenberg Spin Chain.” arXiv:1509.00108 [cond-Mat, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:quant-Ph], August 31, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.00108. | ||
| + | * Giri, Pulak Ranjan, and Tetsuo Deguchi. ‘Singular Eigenstates in the Even(odd) Length Heisenberg Spin Chain’. arXiv:1411.5839 [cond-Mat, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:nlin], 21 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.5839. | ||
| + | * Nepomechie, Rafael I., and Chunguang Wang. “Twisting Singular Solutions of Bethe’s Equations.” arXiv:1409.7382 [math-Ph], September 25, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.7382. | ||
| + | * Kirillov, Anatol N., and Reiho Sakamoto. 2014. “Singular Solutions to the Bethe Ansatz Equations and Rigged Configurations.” arXiv:1402.0651 [math-Ph], February. http://arxiv.org/abs/1402.0651. | ||
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2020년 11월 12일 (목) 22:06 기준 최신판
개요
- 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)의 해밀토니안을 베테 가설을 이용하여 대각화할 때 등장하는 방정식
베테 안싸쯔 방정식
해밀토니안
- 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)의 해밀토니안 \[H = \sum_{n=1}^{N-1}H_{n,n+1}+H_{N,1}\label{ham}\] 여기서 \(H_{i,j}\) 는 two-site 해밀토니안으로 다음과 같이 정의됨
\[H_{i,j}=\frac{J}{4}(\sigma_i^x \sigma_{j}^x +\sigma_i^y \sigma_{j}^y + \sigma_i^z \sigma_{j}^z-I^{\otimes N})=\frac{J}{2}(P_{ij}-I^{\otimes N})\] \(P_{ij}\)는 치환연산자
베테 안싸쯔 방정식
- 다음의 방정식을 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 베테 안싸쯔 방정식이라 한다
\[\begin{eqnarray}\label{bae} \left( {\lambda_{\alpha} + {i\over 2} \over \lambda_{\alpha} - {i\over 2}} \right)^{N} = \prod_{\scriptstyle{\beta=1}\atop \scriptstyle{\beta \ne \alpha}}^M {\lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} + i \over \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i } \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, M \,. \end{eqnarray}\]
- 베테안싸쯔 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다
\[ \exp(ik_jN)\prod_{i \neq j}^{M}S(\lambda_j,\lambda_i)=1 \,, \qquad j = 1 \,, \cdots \,, M \,. \] 여기서 \(e^{i k_j}=\frac{\lambda_j+i/2}{\lambda_j-i/2}\) 또는 \(\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2}\) 그리고 \[ S(v,u)=\frac{u-v-i}{u-v+i}. \]
- 베테안싸쯔 방정식 \ref{bae}의 해를 베테 해(Bethe roots)라 부르며, 각각의 베테 해로부터 해밀토니안 \ref{ham}의 고유벡터를 얻게 된다
관련된 항목들
계산 리소스 및 매스매티카 파일
관련논문
- Kirillov, Anatol N., and Reiho Sakamoto. “Bethe’s Quantum Numbers And Rigged Configurations.” arXiv:1509.02305 [math-Ph], September 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.02305.
- Deguchi, Tetsuo, and Pulak Ranjan Giri. “Exact Quantum Numbers of Collapsed and Non-Collapsed 2-String Solutions in the Heisenberg Spin Chain.” arXiv:1509.00108 [cond-Mat, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:quant-Ph], August 31, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.00108.
- Giri, Pulak Ranjan, and Tetsuo Deguchi. ‘Singular Eigenstates in the Even(odd) Length Heisenberg Spin Chain’. arXiv:1411.5839 [cond-Mat, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:nlin], 21 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.5839.
- Nepomechie, Rafael I., and Chunguang Wang. “Twisting Singular Solutions of Bethe’s Equations.” arXiv:1409.7382 [math-Ph], September 25, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.7382.
- Kirillov, Anatol N., and Reiho Sakamoto. 2014. “Singular Solutions to the Bethe Ansatz Equations and Rigged Configurations.” arXiv:1402.0651 [math-Ph], February. http://arxiv.org/abs/1402.0651.