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수학노트
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==개요==
 
==개요==
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* 코스트카 수(Kostka number) $K_{\lambda\mu}$ : 형태가 $\lambda$이고 weight이 $\mu$인 [[영 태블로(Young tableau)|준표준 영 태블로]]의 수
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* 코스트카 수(Kostka number) <math>K_{\lambda\mu}</math> : 형태가 <math>\lambda</math>이고 weight이 <math>\mu</math>인 [[영 태블로(Young tableau)|준표준 영 태블로]]의 수
−
* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] $s_{\lambda}$ 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] $m_{\mu}$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
+
* 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 <math>V_{\lambda}</math>에서 <math>\mu</math>를 무게(weight)로 갖는 무게 공간(weight space)의 차원
−
: <math>s_\lambda= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu.\ </math>
+
* 여러 대칭 다항식 사이의 연결 계수로서 나타난다
−
* 군 <math>\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})</math>의 기약표현 $V_{\lambda}$에서 $\mu$에 대응되는 weight space의 차원
 
  
  
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==예==
+
==연결 계수==
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* $n=3$라 두고, $\lambda$가 4의 분할로 주어지는 경우, [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]은 다음과 같은 표로 주어진다
+
* <math>\Lambda_d</math> : <math>n</math>개의 변수 <math>\mathbb{x}=(x_1,\cdots,x_n)</math>을 갖는 <math>d</math>차의 대칭 다항식이 이루는 벡터 공간
−
\begin{array}{c|c}
+
* <math>n\geq d</math>이면, <math>\dim\Lambda_d=p(d)</math>. 여기서 <math>p(\cdot)</math>은 [[자연수의 분할수(integer partitions)]]
−
\lambda & s_{\lambda } \\
+
* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] <math>s_{\lambda}(\mathbb{x})</math> 을 [[단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)]] <math>m_{\mu}(\mathbb{x})</math>의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
 +
: <math>s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x}).\ </math>
 +
* [[완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)]] <math>h_{\mu}(\mathbb{x})</math> 을 [[슈르 다항식(Schur polynomial)]] <math>s_{\lambda}(\mathbb{x})</math>의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다
 +
: <math>h_\mu(\mathbb{x})= \sum_\lambda K_{\lambda\mu}s_\mu(\mathbb{x}).\ </math>
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 +
 
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==<math>n=3,d=4</math>의 예==
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===슈르 다항식과 단항 대칭 다항식===
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* 슈르 다항식 <math>s_{\lambda}</math>와 단항 대칭 다항식 <math>m_{\lambda}</math>는 다음과 같은 표로 주어진다
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\begin{array}{c|c|c}
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\lambda & s_{\lambda } & m_{\lambda } \\
 
\hline
 
\hline
−
  \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\
+
  (4) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \\
−
  \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\
+
  (3,1) & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+2 x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+2 x_2 x_3^2 x_1+2 x_2^2 x_3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3 \\
−
  \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\
+
  (2,2) & x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^2 x_3^2 & x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2 \\
−
  \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\
+
  (2,1,1) & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\
−
  \{1,1,1,1\} & 0
+
  (1,1,1,1) & 0 & 0 \\
 
\end{array}
 
\end{array}
−
* $\lambda=(3,1)$이면,
+
 
−
$$
+
 
 +
===코스트카 수의 계산===
 +
:<math>
 
\begin{align}
 
\begin{align}
−
s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\
+
s_{(4)}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 \\
 +
& = (x_1^4+x_2^4+x_3^4)+(x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3)+(x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2)+(x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1)\\
 +
& = m_{(4)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\
 +
 
 +
s_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\
 
& = (x_1^3 x_2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+x_2^3 x_3+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3)+(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+2(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\
 
& = (x_1^3 x_2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+x_2^3 x_3+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3)+(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+2(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\
−
& = m_{(3,1,0)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2,0)}(x_1,x_2,x_3)+2m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)
+
& = m_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3)+2m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\
 +
 
 +
s_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3) & = x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^2 x_3^2 \\
 +
& =(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\
 +
& = m_{(2,2,0)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\
 +
 
 +
s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) & = x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\
 +
& =(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\
 +
& = m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)
 
\end{align}
 
\end{align}
−
$$
+
</math>
 +
 
 +
 
 +
\begin{array}{c|cccc}
 +
\lambda\backslash \mu & (4) & (3,1) & (2,2) & (2,1,1) \\
 +
\hline
 +
(4) & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 +
(3,1) & 0 & 1 & 1 & 2 \\
 +
(2,2) & 0 & 0 & 1 & 1 \\
 +
(2,1,1) & 0 & 0 & 0 & 1 \\
 +
\end{array}
 +
 
 +
==테이블==
 +
* <math>n\geq d</math>를 가정하면, 코스트카 수 <math>K_{\lambda,\mu}</math>는 <math>n</math>에 의존하지 않고, <math>d</math>에만 의존
 +
 
 +
 
 +
===<math>d=1</math>===
 +
\begin{array}{c|c}
 +
\text{} & \{1\} \\
 +
\hline
 +
\{1\} & 1 \\
 +
\end{array}
  
 +
 +
===<math>d=2</math>===
 +
\begin{array}{c|cc}
 +
\text{} & \{2\} & \{1,1\} \\
 +
\hline
 +
\{2\} & 1 & 1 \\
 +
\{1,1\} & 0 & 1 \\
 +
\end{array}
 +
 +
===<math>d=3</math>===
 +
\begin{array}{c|ccc}
 +
\text{} & \{3\} & \{2,1\} & \{1,1,1\} \\
 +
\hline
 +
\{3\} & 1 & 1 & 1 \\
 +
\{2,1\} & 0 & 1 & 2 \\
 +
\{1,1,1\} & 0 & 0 & 1 \\
 +
\end{array}
 +
 +
 +
===<math>d=4</math>===
 +
\begin{array}{c|cccc}
 +
\text{} & \{4\} & \{3,1\} & \{2,2\} & \{2,1,1\} & \{1,1,1,1\} \\
 +
\hline
 +
\{4\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 +
\{3,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \\
 +
\{2,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
 +
\{2,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
 +
\{1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
 +
\end{array}
 +
 +
 +
===<math>d=5</math>===
 +
\begin{array}{c|ccccccc}
 +
\text{} & \{5\} & \{4,1\} & \{3,2\} & \{3,1,1\} & \{2,2,1\} & \{2,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1\} \\
 +
\hline
 +
\{5\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 +
\{4,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 \\
 +
\{3,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
 +
\{3,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 6 \\
 +
\{2,2,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 5 \\
 +
\{2,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
 +
\{1,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
 +
\end{array}
 +
 +
 +
===<math>d=6</math>===
 +
\begin{array}{c|ccccccccccc}
 +
\text{} & \{6\} & \{5,1\} & \{4,2\} & \{4,1,1\} & \{3,3\} & \{3,2,1\} & \{3,1,1,1\} & \{2,2,2\} & \{2,2,1,1\} & \{2,1,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1,1\} \\
 +
\hline
 +
\{6\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
 +
\{5,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
 +
\{4,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 6 & 9 \\
 +
\{4,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & 6 & 10 \\
 +
\{3,3\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\
 +
\{3,2,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 4 & 8 & 16 \\
 +
\{3,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 10 \\
 +
\{2,2,2\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 5 \\
 +
\{2,2,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 9 \\
 +
\{2,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\
 +
\{1,1,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
 +
\end{array}
  
 
==메모==
 
==메모==
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* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]
 
* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]
  
 +
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcjkzaUVqdnRnUm8/edit
 +
* http://mathematica.stackexchange.com/questions/22852/looking-for-a-package-regarding-schur-polynomials-and-kostka-numbers
  
  
 
==관련논문==
 
==관련논문==
 +
* Minwon Na, A bijective proof of Vershik's relations for the Kostka numbers, arXiv:1601.00385 [math.CO], January 04 2016, http://arxiv.org/abs/1601.00385
 
* Kirillov, Anatol N., Anne Schilling, and Mark Shimozono. 1999. “Various Representations of the Generalized Kostka Polynomials.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42j, 19 pp. (electronic). http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s42schil.pdf
 
* Kirillov, Anatol N., Anne Schilling, and Mark Shimozono. 1999. “Various Representations of the Generalized Kostka Polynomials.” Séminaire Lotharingien de Combinatoire 42: Art. B42j, 19 pp. (electronic). http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s42schil.pdf
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[[분류:대칭다항식]]

2020년 11월 14일 (토) 01:13 기준 최신판

개요

  • 코스트카 수(Kostka number) \(K_{\lambda\mu}\) : 형태가 \(\lambda\)이고 weight이 \(\mu\)인 준표준 영 태블로의 수
  • 군 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\)의 기약표현 \(V_{\lambda}\)에서 \(\mu\)를 무게(weight)로 갖는 무게 공간(weight space)의 차원
  • 여러 대칭 다항식 사이의 연결 계수로서 나타난다


연결 계수

\[s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x}).\ \]

\[h_\mu(\mathbb{x})= \sum_\lambda K_{\lambda\mu}s_\mu(\mathbb{x}).\ \]


\(n=3,d=4\)의 예

슈르 다항식과 단항 대칭 다항식

  • 슈르 다항식 \(s_{\lambda}\)와 단항 대칭 다항식 \(m_{\lambda}\)는 다음과 같은 표로 주어진다

\begin{array}{c|c|c} \lambda & s_{\lambda } & m_{\lambda } \\ \hline (4) & x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 & x_1^4+x_2^4+x_3^4 \\ (3,1) & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+2 x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+2 x_2 x_3^2 x_1+2 x_2^2 x_3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 & x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3 \\ (2,2) & x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^2 x_3^2 & x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2 \\ (2,1,1) & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 & x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ (1,1,1,1) & 0 & 0 \\ \end{array}


코스트카 수의 계산

\[ \begin{align} s_{(4)}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^4+x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^4+x_3^4+x_2 x_3^3+x_2^2 x_3^2+x_2^3 x_3 \\ & = (x_1^4+x_2^4+x_3^4)+(x_2 x_1^3+x_3 x_1^3+x_2^3 x_1+x_3^3 x_1+x_2 x_3^3+x_2^3 x_3)+(x_1^2 x_2^2+x_3^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2)+(x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1)\\ & = m_{(4)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\ s_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3) & =x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ & = (x_1^3 x_2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+x_2^3 x_3+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3)+(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+2(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ & = m_{(3,1)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3)+2m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\ s_{(2,2)}(x_1,x_2,x_3) & = x_2^2 x_1^2+x_3^2 x_1^2+x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1+x_2^2 x_3^2 \\ & =(x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_3^2+x_2^2 x_3^2)+(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ & = m_{(2,2,0)}(x_1,x_2,x_3)+m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \\ s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) & = x_2 x_3 x_1^2+x_2 x_3^2 x_1+x_2^2 x_3 x_1 \\ & =(x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2)\\ & = m_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3) \end{align} \]


\begin{array}{c|cccc} \lambda\backslash \mu & (4) & (3,1) & (2,2) & (2,1,1) \\ \hline (4) & 1 & 1 & 1 & 1 \\ (3,1) & 0 & 1 & 1 & 2 \\ (2,2) & 0 & 0 & 1 & 1 \\ (2,1,1) & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}

테이블

  • \(n\geq d\)를 가정하면, 코스트카 수 \(K_{\lambda,\mu}\)는 \(n\)에 의존하지 않고, \(d\)에만 의존


\(d=1\)

\begin{array}{c|c} \text{} & \{1\} \\ \hline \{1\} & 1 \\ \end{array}


\(d=2\)

\begin{array}{c|cc} \text{} & \{2\} & \{1,1\} \\ \hline \{2\} & 1 & 1 \\ \{1,1\} & 0 & 1 \\ \end{array}

\(d=3\)

\begin{array}{c|ccc} \text{} & \{3\} & \{2,1\} & \{1,1,1\} \\ \hline \{3\} & 1 & 1 & 1 \\ \{2,1\} & 0 & 1 & 2 \\ \{1,1,1\} & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}


\(d=4\)

\begin{array}{c|cccc} \text{} & \{4\} & \{3,1\} & \{2,2\} & \{2,1,1\} & \{1,1,1,1\} \\ \hline \{4\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{3,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 \\ \{2,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ \{2,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ \{1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}


\(d=5\)

\begin{array}{c|ccccccc} \text{} & \{5\} & \{4,1\} & \{3,2\} & \{3,1,1\} & \{2,2,1\} & \{2,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1\} \\ \hline \{5\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{4,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 \\ \{3,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \{3,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 6 \\ \{2,2,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 5 \\ \{2,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \{1,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}


\(d=6\)

\begin{array}{c|ccccccccccc} \text{} & \{6\} & \{5,1\} & \{4,2\} & \{4,1,1\} & \{3,3\} & \{3,2,1\} & \{3,1,1,1\} & \{2,2,2\} & \{2,2,1,1\} & \{2,1,1,1,1\} & \{1,1,1,1,1,1\} \\ \hline \{6\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{5,1\} & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \{4,2\} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 4 & 6 & 9 \\ \{4,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 1 & 3 & 6 & 10 \\ \{3,3\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 \\ \{3,2,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 4 & 8 & 16 \\ \{3,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4 & 10 \\ \{2,2,2\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 5 \\ \{2,2,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 9 \\ \{2,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ \{1,1,1,1,1,1\} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}

메모


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매스매티카 파일 및 계산 리소스


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