"반데몬드 행렬과 행렬식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(같은 사용자의 중간 판 7개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 
==개요==
 
==개요==
−
 
+
* 다음과 같은 행렬을 반데몬드 행렬 (Vandermonde matrix)이라 한다 :<math>\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\\end{bmatrix}</math>
−
* 다음과 같은 행렬을 반데몬드 행렬이라 한다 :<math>\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\\end{bmatrix}</math>
 
 
* [[행렬식]]은 다음과 같이 주어진다 :<math>\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)</math>
 
* [[행렬식]]은 다음과 같이 주어진다 :<math>\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)</math>
−
*  행렬식은 [[교대다항식(alternating polynomial)]]이다<br>
+
*  행렬식은 [[교대다항식(alternating polynomial)]]이다
−
 
 
  
 
==분할을 통한 일반화==
 
==분할을 통한 일반화==
 
* [[교대다항식(alternating polynomial)]]에서 가져옴
 
* [[교대다항식(alternating polynomial)]]에서 가져옴
−
* 자연수의 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math> 에 대하여 행렬 $\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}$ 의 행렬식은 교대다항식이다.
+
* 자연수의 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math> 에 대하여 행렬 <math>\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}</math> 의 행렬식은 교대다항식이다.
 
* <math>\lambda : \lambda_{1}=\cdots = \lambda_{n}= 0</math>인 경우, 반데몬드 행렬이 된다
 
* <math>\lambda : \lambda_{1}=\cdots = \lambda_{n}= 0</math>인 경우, 반데몬드 행렬이 된다
−
* $n=3$ 의 경우 $$\left(
+
* <math>n=3</math> 의 경우 :<math>\left(
 
\begin{array}{ccc}
 
\begin{array}{ccc}
 
  x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\
 
  x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\
16번째 줄: 14번째 줄:
 
  x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3}
 
  x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3}
 
\end{array}
 
\end{array}
−
\right)$$
+
\right)</math>
−
* $n=4$의 경우 $$\left(
+
* <math>n=4</math>의 경우 :<math>\left(
 
\begin{array}{cccc}
 
\begin{array}{cccc}
 
  x_1^{\lambda _1+3} & x_2^{\lambda _1+3} & x_3^{\lambda _1+3} & x_4^{\lambda _1+3} \\
 
  x_1^{\lambda _1+3} & x_2^{\lambda _1+3} & x_3^{\lambda _1+3} & x_4^{\lambda _1+3} \\
24번째 줄: 22번째 줄:
 
  x_1^{\lambda _4} & x_2^{\lambda _4} & x_3^{\lambda _4} & x_4^{\lambda _4}
 
  x_1^{\lambda _4} & x_2^{\lambda _4} & x_3^{\lambda _4} & x_4^{\lambda _4}
 
\end{array}
 
\end{array}
−
\right)$$
+
\right)</math>
  
  
71번째 줄: 69번째 줄:
  
 
[[분류:선형대수학]]
 
[[분류:선형대수학]]
 +
[[분류:대칭다항식]]
 +
[[분류:행렬식]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q579544 Q579544]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'vandermonde'}, {'LEMMA': 'matrix'}]
 +
* [{'LOWER': 'vandermonde'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'matrix'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:44 기준 최신판

개요

  • 다음과 같은 행렬을 반데몬드 행렬 (Vandermonde matrix)이라 한다 \[\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\\end{bmatrix}\]
  • 행렬식은 다음과 같이 주어진다 \[\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)\]
  • 행렬식은 교대다항식(alternating polynomial)이다

분할을 통한 일반화

  • 교대다항식(alternating polynomial)에서 가져옴
  • 자연수의 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\) 에 대하여 행렬 \(\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}\) 의 행렬식은 교대다항식이다.
  • \(\lambda : \lambda_{1}=\cdots = \lambda_{n}= 0\)인 경우, 반데몬드 행렬이 된다
  • \(n=3\) 의 경우 \[\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)\]
  • \(n=4\)의 경우 \[\left( \begin{array}{cccc} x_1^{\lambda _1+3} & x_2^{\lambda _1+3} & x_3^{\lambda _1+3} & x_4^{\lambda _1+3} \\ x_1^{\lambda _2+2} & x_2^{\lambda _2+2} & x_3^{\lambda _2+2} & x_4^{\lambda _2+2} \\ x_1^{\lambda _3+1} & x_2^{\lambda _3+1} & x_3^{\lambda _3+1} & x_4^{\lambda _3+1} \\ x_1^{\lambda _4} & x_2^{\lambda _4} & x_3^{\lambda _4} & x_4^{\lambda _4} \end{array} \right)\]


역사



메모



관련된 항목들



수학용어번역



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료


관련논문

  • Yaacov, Itaï Ben. 2014. “A Multivariate Version of the Vandermonde Determinant Identity.” arXiv:1405.0993 [math], May. http://arxiv.org/abs/1405.0993.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'vandermonde'}, {'LEMMA': 'matrix'}]
  • [{'LOWER': 'vandermonde'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'matrix'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=반데몬드_행렬과_행렬식&oldid=52303"