"스미스-민코프스키-지겔 질량 공식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 02:22 기준 최신판

개요

주어진 양의 정부호 이차형식 \(q\)에 대하여 방정식 \(q(x)=n\)의 해의 개수 \(r(q,n)\)를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
지겔의 질량 공식은 \(q\)와 같은 genus에 속하는 이차형식 \(q'\)들에 대한 \(r(q',n)\)값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한 local densities의 곱으로 표현함
local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.

스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

\(n\geq 2\) 자연수
\(f\) : 양의 정부호인 \(n\) 차원 정수계수 이차형식
\({\rm gen}(f)\) \[f\]와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
\(\rm{Aut}(\cdot)\) : 자기동형군
\(f\)의 질량 \(m(f)\)를 다음과 같이 정의

\[ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} \]

정리 (스미스-민코프스키-지겔)

다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 충분히 큰 \(r\)에 대하여, \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]

\(p^s\)는 \(f\)의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
\(N(p^r)\)은 다음을 만족하는 \(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}\)위의 \(n\times n\) 행렬의 개수

\[X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r\]

예

n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다

\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\label{evenu} \]

여기서 \(B_k\)는 베르누이 수

8차원

8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다

\[ \frac{1}{696729600} \]

696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 \(W(E_8)\)의 크기이기도 하다

16차원

16차원에서 \ref{evenu}의 좌변과 우변은 다음과 같다

\[ \frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000} \]

24차원

\ref{evenu}의 값은 다음과 같다

\[ \frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000} \]

지겔-베유 공식

지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
rank가 \(n\)인 격자 \(L\)과 정수 \(g\leq n\)를 고정
지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 \(\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}\) 정의된 함수로

\[\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.\]

\({\rm Sp}(g,\Z)\)의 합동부분군 \(\Gamma\)에 대해 weight이 \(n/2\)인 지겔 모듈라 형식

정리

\[\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}= E^{(g)}(Z),\] 여기서 \(E^{(g)}(Z)\)는 \(\Gamma\)에 대한 아이젠슈타인 급수이며 \(L\)의 genus에만 의존

지겔-베유 공식 항목 참조

메모

Mackey - Unitary Group Representation in Physics, Probability and Number Theory, page 326

수학용어번역

Maßformel - measure formula
mass formula는 잘못된 번역이므로, 질량 공식도 역시 잘못된 번역

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Integral quadratic forms and volume formulas, UBC graduate seminar, winter 2011
Jonathan Hanke, Quadratic Forms and Automorphic Forms
Shimura, Goro. 2006. “Quadratic Diophantine Equations, the Class Number, and the Mass Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 43 (3): 285–304. doi:10.1090/S0273-0979-06-01107-4.
Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
Siegel's integral
Kimball Martin, lecture notes for number theory
- chapter 7. Quadratic Forms
Finch, Minkowski-Siegel Mass Constants

메타데이터

위키데이터

ID : Q217465

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'Smith'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* $n\geq 2$ 자연수
+* 주어진 양의 정부호 이차형식 <math>q</math>에 대하여 방정식 <math>q(x)=n</math>의 해의 개수 <math>r(q,n)</math>를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
-* $L$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
+* 지겔의 질량 공식은 <math>q</math>와 같은 genus에 속하는 이차형식 <math>q'</math>들에 대한 <math>r(q',n)</math>값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한  local densities의 곱으로 표현함
-* $\rm{Aut}(L)$ : 자기동형군
+* local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.
-* ${\rm gen}(L)$ : $L$과 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
-* $f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의
-$$
+==스미스-민코프스키-지겔 질량 공식==
+* <math>n\geq 2</math> 자연수
+* <math>f</math> : 양의 정부호인 <math>n</math> 차원 정수계수 이차형식
+* <math>{\rm gen}(f)</math> : <math>f</math>와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
+* <math>\rm{Aut}(\cdot)</math> : 자기동형군
+* <math>f</math>의 질량 <math>m(f)</math>를 다음과 같이 정의
+:<math>
 m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}
-$$
+</math>
 ;정리 (스미스-민코프스키-지겔)
 다음이 성립한다
 :<math>m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)</math>
-여기서
+여기서 충분히 큰 <math>r</math>에 대하여,
-: <math>m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}</math>
+:<math>m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}</math>
+* <math>p^s</math>는 <math>f</math>의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
+* <math>N(p^r)</math>은 다음을 만족하는 <math>\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}</math>위의 <math>n\times n</math> 행렬의 개수
+:<math>X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r</math>
 ==예==
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 </math>
-여기서 $B_k$는 [[베르누이 수]]
+여기서 <math>B_k</math>는 [[베르누이 수]]
 ===8차원===
 * 8차원 even unimodular 격자는 [[E8]]격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \frac{1}{696729600}
-$$
+</math>
-* 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다
+* 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 <math>W(E_8)</math>의 크기이기도 하다
 ===16차원===
-* 16차원에서 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다
+* 16차원에서 \ref{evenu}의 좌변과 우변은 다음과 같다
-$$\frac{691}{277667181515243520000}$$
+:<math>
+\frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000}
+</math>
+===24차원===
+* \ref{evenu}의 값은 다음과 같다
+:<math>
+\frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000}
+</math>
+==지겔-베유 공식==
+* [[지겔-베유 공식]]은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
+* 같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
+* rank가 <math>n</math>인 격자 <math>L</math>과 정수 <math>g\leq n</math>를 고정
+* 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 <math>\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}</math> 정의된 함수로
+:<math>\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr}
+    ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.</math>
+* <math>{\rm Sp}(g,\Z)</math>의 합동부분군 <math>\Gamma</math>에 대해 weight이 <math>n/2</math>인 [[지겔 모듈라 형식]]
+;정리
+:<math>\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\,
+\left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}=
+E^{(g)}(Z),</math>
+여기서 <math>E^{(g)}(Z)</math>는 <math>\Gamma</math>에 대한 아이젠슈타인 급수이며 <math>L</math>의 genus에만 의존
+* [[지겔-베유 공식]] 항목 참조
 ==메모==
-* the Siegel–Weil formula, introduced by Weil (1964, 1965) as an extension of the results of Siegel (1951, 1952), expresses an Eisenstein series as a weighted average of theta series of lattices in a genus, where the weights are proportional to the inverse of the order of the automorphism group of the lattice.
+* Mackey - Unitary Group Representation in Physics, Probability and Number Theory, page 326
-* For the constant terms this is essentially the Smith–Minkowski–Siegel mass formula.
-* http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/
-** http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/chap7.pdf
-* Katsurada, Hidenori. "An explicit formula for the Fourier coefficients of Siegel-Eisenstein series of degree $3$." Nagoya Mathematical Journal 146 (1997): 199-223.
+==수학용어번역==
-* Katsurada, Hidenori. "An explicit formula for Siegel series." American journal of mathematics (1999): 415-452.
+* Maßformel - measure formula
+* mass formula는 잘못된 번역이므로, 질량 공식도 역시 잘못된 번역
+==관련된 항목들==
+* [[16차원 짝수 자기쌍대 격자]]
+* [[24차원 짝수 자기쌍대 격자]]
+* [[리만 세타 함수]]
+* [[지겔 모듈라 형식]]
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 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
-* [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/easy_siegel_weil.pdf Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula]
+* [http://www.math.ubc.ca/~cass/siegel/INDEX.html Integral quadratic forms and volume formulas], UBC graduate seminar, winter 2011
+* Jonathan Hanke, [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/09HankeNotes.pdf Quadratic Forms and Automorphic Forms]
+* Shimura, Goro. 2006. “Quadratic Diophantine Equations, the Class Number, and the Mass Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 43 (3): 285–304. doi:10.1090/S0273-0979-06-01107-4.
+* Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
 * [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/siegel_integral.pdf Siegel's integral]
-* Haruzo Hida, [http://www.math.ucla.edu/~hida/RT01F.pdf Siegel-Weil Formulas], 2007
+* Kimball Martin, [http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/ lecture notes for number theory]
+** [http://www2.math.ou.edu/~kmartin/ntii/chap7.pdf chapter 7. Quadratic Forms]
+* Finch, [http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/ms.pdf Minkowski-Siegel Mass Constants]
 ==관련논문==
+* Cho, Sungmun. “Group Schemes and Local Densities of Ramified Hermitian Lattices in Residue Characteristic 2 Part I.” arXiv:1210.7894 [math], October 29, 2012. http://arxiv.org/abs/1210.7894.
+* Cho, Sungmun. ‘Group Schemes and Local Densities of Quadratic Lattices in Residue Characteristic 2’. Compositio Mathematica, 5 December 2014, 1–35. doi:10.1112/S0010437X14007829.
+* Eskin, Alex, Zeév Rudnick, and Peter Sarnak. "A proof of Siegel's weight formula." International Mathematics Research Notices 1991.5 (1991): 65-69. http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/siegelmass.pdf
 * Conway, J. H., and N. J. A. Sloane. “Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula.” Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 419, no. 1857 (October 8, 1988): 259–86. doi:10.1098/rspa.1988.0107.
-* Weil, André. “Sur la formule de Siegel dans la théorie des groupes classiques.” Acta Mathematica 113, no. 1 (July 1, 1965): 1–87. doi:10.1007/BF02391774.
+* Siegel, Carl Ludwig. “Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen.” The Annals of Mathematics 36, no. 3 (July 1935): 527. doi:10.2307/1968644.
-* Weil, André. “Sur certains groupes d’opérateurs unitaires.” Acta Mathematica 111, no. 1 (July 1, 1964): 143–211. doi:10.1007/BF02391012.
+* Minkowski, Hermann. 1882. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten
+* Smith, HJ Stephen. "On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates." Proceedings of the Royal Society of London 16 (1867): 197-208.
+[[분류:정수론]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q217465 Q217465]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'Smith'}]

"스미스-민코프스키-지겔 질량 공식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 02:22 기준 최신판

목차

개요